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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Grenzwert holomorpher Funktion
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Universität/Hochschule J Grenzwert holomorpher Funktion
DoseMathe
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  Themenstart: 2021-03-19

Servus, ich brauche mal ein wenig Unterstützung bei einer Aufgabe aus der Funktionentheorie. Die Aufgabe lautet: Sei C* := C\{0} und f: C* –> C holomorph, sodass \(\lim_{z \to 0} |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)| = a \in R\) Bestimmen Sie a. Als Hinweis war gegeben, dass man sich \(g(z) = z^2 f(z)\)anschauen solle. Ich weiß, dass eine konvergente Folge beschränkt ist, also habe ich schon mal: \(\exists m \in N: |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)| \leq m \forall z \in C^*\). Aus \(|z|^2 \leq |z|^{\frac{3}{2}} \iff |z| \leq 1\) folgt dann \(|g(z)| \leq |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)| \leq m \ \forall z \in [-1,1]\). (Korrektur: Betragsstriche vergessen.) Hier komme ich dann nicht mehr weiter. Meine Vermutung ist es, dass man zeigen kann( oder soll), dass \(|f(z)|\) beschränkt ist, um dann zu sagen, dass eine Nullfolge mal beschränkte Folge den Grenzwert 0 liefert. Jedoch stehe ich hier auf dem Schlauch. Es wäre super, wenn mir da jemand einen Gedankenanstoß in die richtige Richtung geben könnte! Lg


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DoseMathe
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-19

Ergänzung: Mir ist gerade das Maximumprinzip ins Auge gesprungen. Ich habe deshalb eine Vermutung, wie die Aufgabe zu lösen gilt. Man macht hier eine Fallunterscheidung zwischen f konstant und f nicht konstant. Angenommen f ist konstant, dann geht der Grenzwert trivialerweise gegen 0. Angenommen f ist nicht konstant, dann gilt nach dem Maximuprinzip und den Voraussetzungen, dass \(|f(z)|\) keine lokalen Maxima in C* hat. Das würde aber dann bedeuten, dass f nicht beschränkt ist, da wir immer ein \(w \in C^*\) zu einem \(v \in C^*\) finden können, sodass \(|f(w)| > |f(v)|\). Nun besteht aber die Möglichkeit, dass die Multiplikation mit \(|z|^\frac{3}{2}\) das ganze wieder beschränkt macht. Wie komme ich hier am besten weiter? Ist das überhaupt ein guter Weg? Lg


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-20

Hallo DoseMathe, zunächst erstmal die Korrektur zu Deinen Behauptungen: \quoteon(2021-03-19 17:41 - DoseMathe im Themenstart) Ich weiß, dass eine konvergente Folge beschränkt ist, also habe ich schon mal: \(\exists m \in N: |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)| \leq m \forall z \in C^*\). \quoteoff Das stimmt nicht. Ein Gegenbeispiel ist schon die konstante Funktion \(1\). Es gilt lediglich, dass \(z\mapsto|z|^{\frac{3}{2}} |f(z)|\) in einer Umgebung der \(0\) beschränkt ist. Diese Funktion ist damit auf jeder kompakten Teilmenge von \(\mathbb{C}\) beschränkt. \quoteon(2021-03-19 17:41 - DoseMathe im Themenstart) Aus \(|z|^2 \leq |z|^{\frac{3}{2}} \iff |z| \leq 1\) folgt dann \(g(z) \leq |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)| \leq m \ \forall z \in [-1,1]\). \quoteoff Es müsste \(|g(z)|\) sein. \quoteon(2021-03-19 17:41 - DoseMathe im Themenstart) Meine Vermutung ist es, dass man zeigen kann( oder soll), dass \(|f(z)|\) beschränkt ist, um dann zu sagen, dass eine Nullfolge mal beschränkte Folge den Grenzwert 0 liefert. \quoteoff \(f\) ist im Allgemeinen nicht beschränkt, nicht einmal in einer Umgebung der \(0\), wie das Beispiel \(f(z)=\frac{1}{z}\) zeigt. \quoteon(2021-03-19 18:15 - DoseMathe in Beitrag No. 1) Das würde aber dann bedeuten, dass f nicht beschränkt ist, da wir immer ein \(w \in C^*\) zu einem \(v \in C^*\) finden können, sodass \(|f(w)| > |f(v)|\). \quoteoff So etwas ist alleine ist nicht ausreichend um zu begründen, dass \(f\) unbeschränkt ist, wie Du an einer Funktion wie \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\arctan(x)\) siehst. Es gilt aber hier tatsächlich, dass \(f\) unbeschränkt ist, falls nicht konstant: Ist \(f\) beschränkt, so lässt sich \(f\) nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz zu einer ganzen Funktion fortsetzen und ist dann nach dem Satz von Liouville konstant. Ich würde an die ganze Sache aber eher so rangehen: Überlege Dir zunächst, dass sich \(g\) zu einer ganzen Funktion fortsetzen lässt. Was ist \(g(0)\)? Nun ist \[a=\lim_{z\to0}|z|^{\frac{3}{2}}|f(z)|=\lim_{z\to0}\frac{|g(z)|}{|z|^{\frac{1}{2}}}=\lim_{z\to0}|z|^{\frac{1}{2}}\frac{|g(z)|}{|z|}.\] Was kannst Du über \(\frac{|g(z)|}{|z|}\) in der Nähe von \(0\) aussagen?


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DoseMathe
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-20

Hi sonnenschein96, uff... da habe ich ja ziemlichen Mist geschrieben. Danke für die Erklärungen und Gegenbeispiele! Zum Punkt, dass sich \(g(z)\) zu einer ganzen Funktion fortsetzen lässt: Nach dem Riemanschen Hebbarkeitssatz muss gelten \(\lim_{z \to 0} (z-0)g(z) = 0\), damit sich \(g(z)\) zu einer ganzen Funktion fortsetzen lässt. Setzen wir das \(g(z)\) mal ein, so erhalten wir \(\lim_{z \to 0}z \cdot z^2f(z) = \lim_{z \to 0} z^3f(z)\). Nun ist aber \(f(z)\) unbeschränkt. Wählen wir zum Beispiel \(f(z) = \frac{1}{z^4}\), so ist dann \(\lim_{z \to 0} z^3f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z} \neq 0\). Da du sagst, dass sich \(g(z)\) zu einer ganzen Funktion fortsetzen lässt, muss der Grenzwert aber null werden, nur finde ich leider nicht heraus, warum... 😐 Ich hatte zuerst die Vermutung, dass \(z^2f(z)\) in einer Umgebung von null beschränkt ist, aber da reicht schon das Gegenbeispiel \(f(z) = \frac{1}{z^3}\), um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Hast du da einen Gedankenanstoß für mich? Lg


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sonnenschein96
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-20

\quoteon(2021-03-20 19:26 - DoseMathe in Beitrag No. 3) Wählen wir zum Beispiel \(f(z) = \frac{1}{z^4}\), [...] Ich hatte zuerst die Vermutung, dass \(z^2f(z)\) in einer Umgebung von null beschränkt ist, aber da reicht schon das Gegenbeispiel \(f(z) = \frac{1}{z^3}\), um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist. \quoteoff Nach Voraussetzung existiert \(a=\lim_{z\to0}|z|^{\frac{3}{2}}|f(z)|\) in \(\mathbb{R}\), dies schließt Beispiele wie \(f(z)=\frac{1}{z^4}\) und \(f(z)=\frac{1}{z^3}\) aus. Du musst Dir überlegen, dass \(\lim_{z\to0}g(z)\) existiert, wofür Du natürlich die Voraussetzung anwenden musst.


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DoseMathe
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-21

Neuer Tag, neue Gedanken und neue Ideen! Also nochmal zum Punkt, dass $g$ sich zu einer ganzen Funktion fortsetzen lässt: Wir wissen, dass \(\vert g(z) \vert \leq \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \vert f(z) \vert\) für alle $z \in [-1,1]$. Nach Voraussetzung ist $\lim_{z \to 0} \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \vert f(z) \vert = a$, womit wir erhalten, dass $g(z)$ in einer Umgebung von $0$ beschränkt ist. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist $g(z)$ somit zu einer ganzen Funktion fortsetzbar. Nun zu $g(0)$. Fest steht, dass $g(z)$ nicht konstant ist, denn sonst würde $\lim_{z \to 0}\frac{\vert g(z) \vert}{\vert z \vert}$ nicht existieren und damit auch der gesamte gesuchte Grenzwert nicht. Widerspruch. Wie man nun herausfindet, was $g(0)$ ist, weiß ich leider nicht. Wir haben nur die Information, dass $g(z) = z^2f(z)$, wobei $f(z)$ nach Voraussetzung aber nicht in $0$ definiert ist. Wir wissen aber, dass es nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz eine holomorphe Fortsetzung für $g(z)$ gibt. Was übersehe ich? Lg


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sonnenschein96
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-21

\quoteon(2021-03-21 13:31 - DoseMathe in Beitrag No. 5) Wir wissen, dass \(\vert g(z) \vert \leq \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \vert f(z) \vert\) für alle $z \in [-1,1]$. Nach Voraussetzung ist $\lim_{z \to 0} \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \vert f(z) \vert = a$, womit wir erhalten, dass $g(z)$ in einer Umgebung von $0$ beschränkt ist. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist $g(z)$ somit zu einer ganzen Funktion fortsetzbar. \quoteoff Dann solltest Du Dir aber alle \(z\in\mathbb{C}^*\) mit \(|z|\leq1\) anschauen und nicht nur \(z\in[-1,1]\). Du "verschenkst" hier allerdings den Term \(|z|^{\frac{1}{2}}\). Es gilt \(|g(z)| = |z^2f(z)| = |z|^{\frac{1}{2}}|z|^{\frac{3}{2}}|f(z)|\) für \(z\in\mathbb{C}^*\). \(|z|^{\frac{3}{2}}|f(z)|\) geht nach Voraussetzung gegen \(a\) für \(z\to0\) und \(|z|^{\frac{1}{2}}\) konvergiert auch. \quoteon(2021-03-21 13:31 - DoseMathe in Beitrag No. 5) Fest steht, dass $g(z)$ nicht konstant ist, denn sonst würde $\lim_{z \to 0}\frac{\vert g(z) \vert}{\vert z \vert}$ nicht existieren und damit auch der gesamte gesuchte Grenzwert nicht. Widerspruch. \quoteoff Doch \(g\) kann konstant sein, nämlich wenn \(f\) konstant gleich \(0\) ist. Und die Existenz des Grenzwertes \(\lim_{z\to0}\frac{|g(z)|}{|z|}\) müsstest Du erstmal beweisen.


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DoseMathe
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-21

\quoteon(2021-03-21 15:12 - sonnenschein96 in Beitrag No. 6) Doch \(g\) kann konstant sein, nämlich wenn \(f\) konstant gleich \(0\) ist. Und die Existenz des Grenzwertes \(\lim_{z\to0}\frac{|g(z)|}{|z|}\) müsstest Du erstmal beweisen. \quoteoff Das stimmt, diesen Fall habe ich aber bereits im zweiten Beitrag untersucht, indem ich zwischen f konstant und nicht konstant unterschieden habe. \quoteon(2021-03-19 18:15 - DoseMathe in Beitrag No. 1) Angenommen f ist konstant, dann geht der Grenzwert trivialerweise gegen 0. \quoteoff Wobei ich dort "nur" $\lim_{z \to 0} |z|^{\frac{3}{2}} |f(z)|$ betrachtet habe. Betrachten wir das über die g Funktion, so verändert sich da auch nicht viel, denn es gilt: $\lim_{z \to 0} \frac{\vert g(z) \vert}{\vert z \vert} = \lim_{z \to 0} \frac{\vert z^2f(z) \vert}{\vert z \vert} = \lim_{z \to 0} \frac{\vert z \vert^2 \vert f(z) \vert}{\vert z \vert} = \lim_{z \to 0} \vert z \vert \vert f(z) \vert$ Gilt nun $f(z) = \alpha$ für alle $z \in \mathbb{C}^*$ folgt $\lim_{z \to 0} \vert z \vert \vert f(z) \vert = \alpha \lim_{z \to 0} \vert z \vert = 0 \implies \lim_{z\to0}|z|^{\frac{1}{2}}\frac{|g(z)|}{|z|} = 0$. War blöd formuliert von mir im vorherigen Beitrag. Bleibt also noch zu schauen, was der Grenzwert ist, wenn $\vert g(z) \vert$ bzw. $g(z)$ nicht konstant ist. Wir wissen, wie du sagtest, dass man $\vert g(z) \vert = \vert z \vert^{\frac{1}{2}} \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \vert f(z) \vert$ schreiben kann. Wir haben hiermit ein Produkt aus zwei konvergenten Teilen, der eine geht nach Voraussetzung gegen a und der zweite gegen 0. Damit ist $\lim_{z \to 0} \vert g(z) \vert = \vert g(0) \vert = 0$. Mit Hilfe der Analysis erhalten wir $g(0) = 0$, weil $\vert \beta \vert = 0 \iff \beta = 0$. Betrachten wir nun $\lim_{z \to 0} \frac{\vert g(z) \vert}{\vert z \vert}$, so stellen wir fest, dass wir als Grenzwert einen Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ erhalten. Da denke ich dann sofort an die Regel von de L'Hospital, die aber voraussetzt, dass die Funktion im Nenner und im Zähler jeweils differenzierbar sind. Jedoch ist die Betragsfunktion nirgends differenzierbar. Folglich existiert der Grenzwert nicht. Habe ich noch etwas vergessen oder irgendwo einen blöden Denkfehler gemacht? Ansonsten würde ich zum Resultat kommen, dass wir, wenn $f(z)$ konstant ist, $a = 0$ bekommen und wenn $f(z)$ nicht konstant ist, der Grenzwert nicht exisitert.


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sonnenschein96
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Du hast nun richtig erkannt, dass man \(g\) durch setzen von \(g(0):=0\) holomorph auf \(\mathbb{C}\) fortsetzen kann. \quoteon(2021-03-21 17:07 - DoseMathe in Beitrag No. 7) Jedoch ist die Betragsfunktion nirgends differenzierbar. Folglich existiert der Grenzwert nicht. \quoteoff Das stimmt nicht, wenn der Grenzwert \(\lim_{z\to0}\frac{g(z)}{z}\) existiert, dann existiert wegen der Stetigkeit des Betrages auch der Grenzwert \(\lim_{z\to0}\frac{|g(z)|}{|z|}=\lim_{z\to0}\left|\frac{g(z)}{z}\right|=\left|\lim_{z\to0}\frac{g(z)}{z}\right|\). Du hast bis jetzt zwar Dein \(g\) holomorph auf \(\mathbb{C}\) fortgesetzt, dies aber noch nirgends verwendet... Vielleicht hilft Dir die triviale Tatsache, dass \(\frac{g(z)}{z}=\frac{g(z)-0}{z-0}\).


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DoseMathe
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-21

Ach stimmt, das kann man ja mit dem Betrag so machen - ganz vergessen. Dann ist $\lim_{z \to 0} \frac{g(z)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{g(z) - 0}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \frac{g(z) - g(0)}{z - 0}$ gerade die Ableitung von $g(z)$ an der Stelle $0$. Da $g$ eine ganze Funktion ist, existiert die Ableitung und folglich auch der Grenzwert. Kurz: $\lim_{z \to 0} \frac{g(z) - g(0)}{z - 0} = g'(0) \implies \big\vert \lim_{z \to 0} \frac{g(z)}{z} \big\vert = \vert g'(0) \vert$. Also erhalten wir insgesamt: $\lim_{z \to 0} \vert z \vert^{3/2} \vert f(z) \vert = \lim_{z \to 0} \vert z \vert^{1/2} \vert \frac{g(z)}{z} \vert = 0 \cdot \vert g'(0) \vert = 0$. Super! Ich bedanke mich vielmals für deine Geduld und guten Tipps! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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