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 Integral auf zwei Arten berechnen |
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mpc
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Wohnort: Wien, Österreich
 |  Themenstart: 2021-03-23
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Es soll \(I:= \int_\gamma \frac{1}{1-z^2}\) bestimmt werden, wobei \(\gamma:[0,2 \pi] \to \mathbb{C} \), \(\gamma(t)=1+e^{it}\).
Partialbruchzerlegung: \(I=\frac{1}{2}( \int_\gamma \frac{1}{z-(-1)} + \int_\gamma \frac{1}{1-z})\).
Das erste Integral ist gleich 0 , da (-1) nicht innerhalb des von \(\gamma\) berandeten Kreises liegt, und daher die Umlaufzahl =0 ist.
Das zweite Integral: \(\int_\gamma \frac{1}{1-z}=\int_\gamma \frac{-1}{z-1}\). Jetzt kann man die Cauchy Integralformel , mit der analytischen konstanten Funktion \(f(z)=-1\) anwenden, da 1 ja im Inneren des Kreises liegt. Also: \(\int_\gamma \frac{1}{1-z}=f(1)*2 \pi i = -2 \pi i\).
Insgesamt also \(I=-\pi i \). Ich glaube, dass das stimmt, oder?
So, jetzt habe ich aber versucht , \(I\) auch direkt als komplexes Wegintegral auszrechnen, und komme bis zu diesem Ausdruck: \(I=-i \int^{2 \pi}_0 \frac{1}{2+e^{it}}dt\). Wie könnte man da weitermachen?
Liebe Grüße
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Sismet
Senior 
Dabei seit: 22.03.2021
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\)
Hey,
zunächst zu deiner ersten Methode: Die funktioniert und das Ergebnis passt auch. Ich finde du solltest aber immer das dz dazuschreiben.
Zu deiner 2. Methode: Zunächst würde ich den Integrand mit $e^{-it}$ erweitern. Dann gibt es verschiedene Möglichkeiten. Du kannst für den resultierenden Integrand versuchen eine lokale Stammfunktion finden indem du den ganzen Nenner substituierst.
Alternativ kannst du den geschlossenen Weg $\alpha : [0,2\pi] \rightarrow\IC, t\rightarrow e^{-it}$ substituieren. Dann erhältst du wieder ein Kurvenintegral, welches über $\alpha$ integriert wird. Das zu bestimmen ist deutlich leichter.
Grüße\(\endgroup\)
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mpc
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23
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Danke!
Ich habe es jetzt vielleicht geschafft.
Wieder ausgehend von der Partialbruchzerlegung , und dann jedes der beiden Integrale separat als Wegintegral betrachtend:
\(I= \frac{1}{2}(\int^{2\pi}_0 \frac{ie^{it}}{2+e^{it}}dt+ \int^{2\pi}_{0} \frac{1}{-e^{it}}ie^{it}dt) \). Das zweite Integral in der Klammer ist gleich \(-2\pi i\).
Es gilt ja \(\frac{d}{dt}\log(2+e^{it}) = \frac{ie^{it}}{2+e^{it}} \) , also genau der Integrator vom ersten Integral in der Klammer. Daher ist dieses \(=\log(2+e^{it}) \vert _0 ^{2\pi} = \log(3) -\log(3)=0 \), und somit kommt insgesamt auch \(I=-\pi i\) heraus.
Wenn man mich jetzt aber fragen würde, warum/ob man den Logarithmus hier so verwenden darf , wüsste ich keine Antwort.
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Sismet
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\)
Hey,
den komplexen Logarithmus kannst du hier verwenden, da der Realteil von $2+e^{it}$ größer als 0 ist und der komplexe Logarithmus auf $ \IC\backslash\IR_{\leq 0} $ holomorph ist.
Mit komplexen Logarithmus mein ich den Hauptzweig des Logarithmus.
Grüße\(\endgroup\)
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mpc
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29
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