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  komplexe Zahlen mit reellen Zahlen identifizieren |
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Miezekatze
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.07.2019
Mitteilungen: 30
 |  Themenstart: 2021-03-23
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Hallo Mathematiker,
gerade lerne ich für meine Geometrie-Klausur, aber ich schätze, meine Frage bezieht sich eher auf Stoff aus Lineare Algebra. Und zwar geht es darum zu zeigen, dass eine Transformation der Form:
$C: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto \frac{a\bar{z}+b}{c\bar{z}+d}$ mit $ad-bc \neq 0$ winkeltreu, aber nicht orientierungstreu ist. Ich schätze, man muss irgendwie $\mathbb{C}$ mit $\mathbb{R}^2$ identifizieren, dann ableiten und dann bekommt man, dass die Jacobi-Matrix eine negative Determinante haben muss. Zumindest hieß es auch im Skript, dass man zeigen muss, dass die Ableitung im jeden Punkt winkeltreu ist, aber die Determinante negativ ist (für Winkeltreue reicht $det \neq 0$, oder?). Und vermutlich bekommt man nur durch diese Identifikation überhaupt einen Vektor.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich da bei so einem Bruch vorgehen soll. Das d stört...
Wir hatten noch ein anderes Beispiel $z \mapsto \bar{z}$ und da war es klar, dass die Identifikation $(x, y) \mapsto (x, -y)$ lautet und davon eine Jacobi-Matrix mit negativer Determinante bekommt (also die Orientierung umdreht).
Kann mir jemand bei dem Bruch weiterhelfen? 🤯
Danke schon mal und viele Grüße
Miezekatze
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-24
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Hallo,
wie kommst du darauf, die Frage unter 'Lineare Algebra' zu stellen?
Das ist ja hier nichts anderes als eine Verkettung der Konjugation mit einer Möbius Transformation.
Von daher sollte man der Frage wohl eher mit den Mitteln der Funktionentheorie zu Leibe rücken.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Funktionentheorie' von Diophant]
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Miezekatze
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.07.2019
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-24
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Hallo Diophant,
ja genau, Möbius-Transformationen. Wir haben sie in der Geometrie-Vorlesung behandelt, und dafür kurz die Funktionentheorie angeschnitten. Ich dachte trotzdem, es passt zur linearen Algebra weil man ja bei dem einen Beispiel Vektorräume miteinander identifiziert, ableitet und durch die Eigenschaften der Matrix etwas über Winkeltreue/Orientierung aussagen kann. Klang für mich, als wäre mehr Wissen über Lineare Algebra als über Funktionentheorie gefordert.
Geht man bei meinem anderen Beispiel mit dem Bruch ähnlich vor, oder braucht man dafür einen anderen (funktionentheoretischeren) Weg? Danke schon mal.
Viele Grüße
Miezekatze
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-24
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Hallo,
das kommt darauf an, was ihr alles schon durchgenommen habt. Für mich sieht die Sache einfach aus: die komplexe Konjugation ist winkeltreu, aber nicht orientierungstreu. Möbiustransformationen sind konform, d.h. winkel- und orientierungstreu.
Deine Funktion ist eine Komposition aus den beiden genannten Abbildungen...
Gruß, Diophant
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Miezekatze
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Dabei seit: 06.07.2019
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-24
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Stimmt, macht Sinn... ja gut, ich schätze, dann passt das so.
Vielen Dank :)
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