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| Autor |
  Definition: Messbarkeit bzgl. äußerer Maße |
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Tamref
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2021-03-26
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Wir haben folgende Definition im Skripit und ich hab sie bis dato immer einfach "hingenommen" heute ist mir beim drüberlesen jedoch folgendes aufgefallen und ich bin stutzig geworden.
Definition:
Es sei \(\mu^*\) ein äußeres Maß auf einer nichtleeren Menge \(X\).
Eine Teilmenge \(B\) von \(X\) heißt messbar (bezüglich \(\mu^*\)), falls
\[\mu^*(A)=\mu^*(A \cap B) + \mu^*(A \cap (X\setminus B)) \]
für alle Teilmengen \(A\) von \(X\)
Das ist aber doch eine rekusive Definition.
Sprich um zu prüfen, ob ich \(B\) messen kann muss ja der Schnitt von \(B\) und \(X \setminus B\) mit \(A\) für jedes \(A\) aus \(X\) bereits bzgl. \(\mu^*\) messbar sein, damit diese messbar sind muss für diese ja jeweils die Definition angewandt werden usw..
Hab ich nen Knoten im Kopf?
VG Tamref
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1859
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Hi,
ich verstehe nicht ganz. Wieso brauchst du $$ \mu^*(C) = \mu^*(C \cap (A \cap B)) + \mu^*(C \cap (X \setminus(A \cap B))), $$ für alle $A,X \subseteq X$ (und noch die analoge Bedingung für $X \setminus B$), um die Definition zu prüfen?
Vielleicht verwechselst du äußere Maße mit Maße. Das äußere Maß ist eine Funktion von der Potenzmenge $\mathcal{P}(X)$, d.h. auf allen Teilmengen von $X$ definiert.\(\endgroup\)
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Tamref
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2019
Mitteilungen: 84
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-26
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Ich störe mich hier ggf. an der Begrifflichkeit.
Bei Maßen sind ja gerade die Mengen messbar, welche in der \(\sigma\)-Algebra liegen und demnach dem Definitonsbereich des Maßes entspringen.
Nun ist bei äußeren Maßen ja wie du sagt, gerade diese Definitionsbereich die gesamte Potenzmenge, demnach wäre ja jede Teilmenge von \(X\) messbar, doch da wir kein Maß sondern ein äußeres Maß haben schränken wir die Menge der Mengen die wir als messbar bezeichnen ein mit der obigen Definition ein?
VG Tamref
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1859
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
\quoteon(2021-03-26 16:57 - Tamref in Beitrag No. 2)
Nun ist bei äußeren Maßen ja wie du sagt, gerade diese Definitionsbereich die gesamte Potenzmenge, demnach wäre ja jede Teilmenge von \(X\) messbar,
\quoteoff
Das äußere Maß ist einfach ein anderer Begriff, der Definitionsbereich hat nichts mit Messbarkeit zu tun.
Der Name kommt daher, dass die $\mu^*$-messbaren Mengen eine $\sigma$-Algebra $A_{\mu}$ bilden und $\mu^*|_{A_{\mu}}$ ein vollständiges Maß ist.\(\endgroup\)
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Tamref hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Tamref hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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