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Analysis » Maßtheorie » Kann man das Grenzmaß bestimmen?
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Universität/Hochschule J Kann man das Grenzmaß bestimmen?
math321
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Hallo! Sei $S=\{0,1\}$ und $X=S^\mathbb{Z}$ die Menge der bi-infiniten Folgen $x=(x_n)_{n\in\mathbb{Z}}$. Auf $X$ sei $\sigma\colon X\to X$ der Linksshift, d.h. $(\sigma(x))_n=x_{n+1}$. Für ein $x\in X$ bezeichne $\delta_x$ das Dirac-Maß. Weiter seien auf dem messbaren Raum $(X,B(X))$ die Maße $$ \mu_n(B):=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\delta_x (\sigma^{-j}B), \quad B\in B(X) $$ definiert. Ich möchte gerne wissen, gegen welches Maß die Folge $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert (dass es konvergiert folgt aus der Kompaktheit der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel-Sigma-Algebra). Ich denke, es macht Sinn mit den Zylindermengen $$ [a_1,a_2,\ldots,a_k]_m:=\{x\in X: x_{[m,m+k]}=(a_1,\ldots,a_k)\} $$ zu beginnen, da diese eine Basis für die Topologie bilden. Für eine beliebige Zylindermenge $B=[a_1,\ldots,a_k]_m$ muss ich für $\mu_n$ sozusagen zählen, wie oft das Wort $(a_1,...,a_k)$ vorkommt, da ich zählen muss, wie oft das Wort $(a_1,\ldots,a_k)$ in $x$ vorkommt und in $n-1$ Shifts in das Fenster $[m,m+k]$ hineinwandern kann. Ich bekomme daher $$ \mu_n(B)=\frac{1}{n}\#\left\{j\in\{0,\ldots,n-k\}: x_{[m+j,m+j+k-1]}=(a_1,\ldots,a_k)\right\} $$ Kann man sagen, gegen welches Maß das für $n\to\infty$ konvergiert? Ich habe keine wirkliche Idee... EDIT: Wenn ich zum Beispiel $x=0_\infty$ als die bi-infinite Nullsequenz wähle, dann bekomme ich als Grenzmaß das Dirac-Maß $\delta_{0_\infty}$. Für allgemeines $x\in X$ scheint es aber schwerer zu sein, das Grenzmaß anzugeben. 🤔 \(\endgroup\)

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