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  Sigma-Algebra von berandeter Menge bestimmen |
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Tamref
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 |  Themenstart: 2021-03-27
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Zwecks der Kalusurvorbereitung habe ich folgende Aufgabe gefunden jedoch keine Lösung dazu und ich weiß schon gar nicht wie ich ansetzen soll.
Es sei \(M\) die durch die Flächen
\[S_1=\{(x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z=x^2+y^2\}\]
\[S_2=\{(x,y,z) \in \mathbb{R^3}: x^2+y^2=4\}\]
\[S_3=\{(x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z=0\}\]
berandete Teilmenge des \(\mathbb{R^3}\). Berechnen Sie \(\sigma(M)\).
Wenn ich mir das plotte, dann habe ich für \(S_1\) eine Parabel, die man quasi nochmal im Kreis gedreht hat (hab vergessen wie das Objekt heißt, tuts Paraboloid?)
\(S_2\) ist ein Zylinder, er durchaus die Menge weiter einschränkt, \(S_3\) jedoch scheint mir etwas nutzlos und nicht zur Berandung beizutragen.
Damnach wäre \(M\) nach "oben" hin "offen" und wäre "unendlich" groß.
Ich verstehe nicht so recht wie ich von solch einer "unendlichen" Menge die \(\sigma\)-Algebra erzeugen kann.
Soweit ich das Skript überblicken kann hatten wir dazu auch kein Beispiel. Wenn man endliche Mengen als Ausgangspunkt hat, so lässt sich die \(\sigma\)-Algebra ja noch recht leicht bestimmen, doch wie ist die Herangehensweise im (über)abzählbar unendlichen Fall? Ich kann ja schlecht alle (sind das nicht sogar unendlich viele?) \(\sigma\)-Algebren die \(M\) Enthalten bestimmen?
VG Tamref
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Sismet
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
deine Menge M ist die Menge die unter $S_1$ und über $S_3$ liegt und an den Seiten von $S_3$ besckränkt wird.
Grüße\(\endgroup\)
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Tamref
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-28
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Oh...
Ja gut das macht den Teil schonmal klarer, danke.
Ich hatte mir ursprünglich vorgestellt, dass ich dennoch immens viele Mengen explizit angeben müssen und das nicht möglich sei. Doch beim Formulieren dieser Antwort ist mir aufgefallen, dass es ja um den Schnitt aller \(\sigma \)-Algebren geht die \(M\) enthalten. Was ja gleichbedeutend ist mit der kleinsten \(\sigma\)-Algebra die \(M\) enthält.
Also sollte
\(\sigma (M)= \{\mathbb{R^3},\emptyset,M,M^C\}\)
die korrekte Lösung sein oder?
VG Tamref
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Sismet
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
\quoteon(2021-03-28 10:39 - Tamref in Beitrag No. 2)
Also sollte
\(\sigma (M)= \{\mathbb{R^3},\emptyset,M,M^C\}\)
die korrekte Lösung sein oder?
\quoteoff
Ja, das ist richtig \(\endgroup\)
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Tamref hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Tamref hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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