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Funktionentheorie » Holomorphie » isolierte Singularität
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Universität/Hochschule isolierte Singularität
Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-29


Ich beschäftige mich derzeit mit dem Thema er isolierten Singularitäten. Laut Definition ist eine Singularität einer Funktion dann isoliert, falls in einem Kreisring um die Singularität keine weitere Singularität vorhanden ist.

Die Funktion:
fed-Code einblenden

Hat bei:
fed-Code einblenden
je eine isolierte Singularität (Polstelle 2. Ordnung). Durch nachdenken kommt man ja darauf, dass sich in den Umgebungen dieser Singularitäten keine weiteren befinden und sie daher isoliert sind.
Meine Frage ist folgende:
Wie zeigt man so etwas mathematisch?

Die Funktion:
fed-Code einblenden
beispielsweise hat ja eine wesentliche Singularität bei z=0, diese ist jedoch nicht isoliert. Durch nachdenken kann ich mir das auch erklären, aber wie kann ich mathematisch zeigen, dass diese Singularität nun nicht isoliert ist?



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
Ein Ansatz wäre eine Umgebung einfach direkt anzugeben. Also bei deinem ersten Bsp. $\mathbb{B}_2(2i)$ bzw. $\mathbb{B}_2(-2i)$.
Dann kann man sich auch überlegen, dass wenn du nur endlich viele Singularitäten hast, dass die alle isoliert sind.
Generell kannst du dir auch überlegen:
Eine Singularität ist genau dann isoliert, wenn sich nicht ein Häufungspunkt der Menge $\{z\in \IC|z \text{ ist Singularität von }f\}$ ist.

So kannst du dir auch überlegen, dass $0$ in deinem 2. Beispiel keine isolierte Singularität ist, denn $a_n=\frac{1}{(1/2+n)\pi}$ konvergiert gegen $0$ und $\frac{1}{\cos(1/z)}$ hat in $a_n$ eine Singularität. Also ist $0$ ein Häufungspunkt von der oben beschriebenen Menge und damit keine isolierte Singularität.

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-29


Hier stand etwas Falsches ...

Gruss Dietmar
 



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
2021-03-29 13:28 - dietmar0609 in Beitrag No. 2 schreibt:
Bei einer isolierten Singularität hat der Hauptteil der Laurententwicklung  endlich viele Glieder.

Gruss Dietmar
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)

Das stimmt so nicht. Das wäre nur der fall, wenn die Singularität eine nicht wesentliche Singularität wäre.
$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ hat eine isolierte Singularität in $z=0$. Der Hauptteil der Laurentreihe ist jedoch nicht endlich.
\(\endgroup\)


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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-29


Lies dir folgende Definitionen von Singularitäten mal durch, insbesondere  Punkt 3.

Gruss Dietmar






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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
In dieser Definition von Singularität werden eigentlich isolierte Singularität charakterisiert.
Es steht ja in dem einleitenden Text sinngemäß:
$f$ ist auf einer gelochten Kreisscheibe analytisch und das ist gerade die Definition von isolierter Singularität von Aralian.

 
Gruß Sismet
\(\endgroup\)


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Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29


Kann man allgemein sagen, dass wesentliche Singularitäten nicht isoliert sind?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-29


Die Einteilung "hebbar - Pol - wesentlich" bezieht sich nur auf isolierte Singularitäten.

Andere Singularitäten werden erstmal nicht beguckt, weil man da sowieso keine einfachen Werkzeuge hat.

Viele Grüße

Wally



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-29


Sämtliche Singularitäten aus meinem Beitrag 4 sind isoliert. Das steht auch im Vorspann des Beitrags. Das , was in meinem Beitrag 2 stand , war falsch.

Gruss Dietmar



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Aralian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29


In dem von Dietmar gesendeten Artikel steht sowas wie:

jede Singularität, die nicht Pol oder hebbar ist, ist eine Wesentliche Singularität.
Demnach wäre die Singularität bei z = 0 von:
fed-Code einblenden
eine wesentliche Singularität, die allerdings nicht isoliert ist, oder sehe ich da was falsch.

Wenn ich falsch liege:
Wie komme ich dann im allgemeinen darauf, dass ich eine wesentliche Singularität einer Funktion gefunden habe, insofern ich zeigen kann, dass sie nicht Polstelle und nicht hebbar ist? Ich muss dann ja noch zusätzlich zeigen, dass sie auch isoliert ist.



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-29


2021-03-29 15:18 - Aralian in Beitrag No. 9 schreibt:
In dem von Dietmar gesendeten Artikel steht sowas wie:

jede Singularität, die nicht Pol oder hebbar ist, ist eine Wesentliche Singularität.
Demnach wäre die Singularität bei z = 0 von:
fed-Code einblenden
eine wesentliche Singularität, die allerdings nicht isoliert ist, oder sehe ich da was falsch.


Wie Wally bereits erwähnt hat, ist der Begriff wesentliche Singularität nur für isolierte Singularitäten definiert. Also liegst du falsch.
Wenn du nachweisen willst, das eine Singularität eine wesentliche Singularität ist, dann musst du zeigen dass sie isoliert ist und nicht hebbar oder eine Polstelle. Hier kannst du dann auch mit dem Satz von Casorati-Weierstraß arbeiten

Grüße
Sismet



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