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Funktionentheorie » Integration » Cauchy-Integralformel für nicht kreisförmige Pfade
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Universität/Hochschule Cauchy-Integralformel für nicht kreisförmige Pfade
Aralian
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  Themenstart: 2021-03-31

In meinem Skript zur Funktionentheorie sowie auf dem Wikipediaartikel zur Cauchy Integralformel (https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel) steht, dass diese Formel nur gilt, wenn es sich bei dem Integrationspfad um einen (geschlossenen) Kreis handelt. In einem Übungsblatt haben wir allerdings ein Integral mittels der Integralformel gelöst, bei dem der Integrationspfad lediglich die obere Halbebene (Reelle Achse + oberer Halbkreis mit Radius gegen unendlich) war und sind ebenfalls auf ein richtiges Ergebnis gekommen. Meine Frage zum Verständnis der Cauchy'schen Integralformel: Gilt diese wirklich nur auf kreisförmigen Integrationspfaden oder kann ich sie auch bei beliebigen geschlossenen Integrationspfaden verwenden (wie beispielsweise den Residuensatz)?


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-31

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Die Formel gilt allgemeiner für Integrationswege, die in $\IC\setminus\{z\}$ zu Kreisen um $z$ (frei) homotop sind. Weitere Verallgemeinerungen findet man am Ende des Artikels, den du verlinkt hast (hier) und im Residuensatz.\(\endgroup\)


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Aralian
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-31

Ok von homotopen Integrationswegen habe ich in der Vorlesung noch nichts gehört, daher werde ich die Formel in der Klausur wohl erstmal nur für Kreisförmige Integrationswege verwenden. Vielen dank :)


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Aralian hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aralian hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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