Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Divisorklassengruppe von Produkt der Varietäten
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Divisorklassengruppe von Produkt der Varietäten
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 753
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-06

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,

es geht um eine Verallgemeinerung der Formel $CH^1(X\times_k \mathbb{P}^n_k)\cong CH^1(X) \times \IZ$. Hier bezeichnet $CH^1(X)$ die (Weil-)Divisorklassengruppe einer (geometrisch integrale und separierte) normale Varietät $X$.

Sei $X$ eine normale Varietät über einem Körper $k$ und $S$ eine glatte rationale Varietät (birational äquivalent zu gewissem $\mathbb{P}^n_k$) über $k$. Es wird behauptet, dass es einen Isomorphismus $$CH^1(X\times_k S)\cong CH^1(X)\times CH^1(S)$$ gibt, welcher durch die beiden Projektionen $X\times_k S\to X, S$ induziert.

Habt ihr eine Idee, wie man das beweisen kann? (Lässt sich die Behauptung auf  $CH^1(X\times_k \mathbb{P}^n_k)\cong CH^1(X) \times \IZ$ zurückführen*? Literaturhinweis würde auch ausreichen.)

*: Dazu braucht man wahrscheinlich einige Fakten über rationale Varietäten sowie über das Verhalten von $CH^1$ zu Blow-up und Blow-down (die ich nicht genau weiß)...

Das Ziel ist zu zeigen, wenn es einen Cartier-Divisor $D$ auf $X\times_k S$ mit Träger $X\not\subset |D|$ gibt ($X, S$ als früher), dann gilt $D_s=D_t$ in $CH^1(X)$, wobei $t, s$ zwei beliebige $k$-Punkte von $S$ und $D_s$ die Restriktion von $D$ auf $X\times_k \{s\}\cong X$ (Gleiches für $D_t$) sind.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1237
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-06


Die erste Chowgruppe, für normale Varietäten isomorph zur Cartierdivisorklassengruppe und Picardgruppe, eines Produktes $X \times_k Y$ ist $\operatorname{pr}_1^*\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Alb}_X, \mathbf{Pic}^0_{Y/k}) \times \operatorname{pr}_2^*\operatorname{Pic}(Y)$. Idee: Du kannst Zykel auf $X$ und $Y$ auf $X \times_k Y$ zurückziehen und Homomorphismen zwischen den Jacobivarietäten entsprechen geeigneten Korrespondenzen auf $X \times_k Y$. (Das sollte im Artikel von Milne über Jacobische in [Cornell-Silverman] stehen, der auch auf www.jmilne.org/math ist.)

Jede glatte rationale Varietät hat triviale Albanesevarietät nach der universellen Eigenschaft der Albanesevarietät, weil Morphismen rationaler Varietäten in abelsche Varietäten konstant sind. (Das gilt sogar für unirationale Varietäten. Einen Beweis findest du im Artikel von Milne über abelsche Varietäten in [Cornell-Silverman], der auch auf www.jmilne.org/math ist.) Also ist die Hom-Gruppe 0.

Alternativ gibt es auch eine Übungsaufgabe im Hartshorne in III.12.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 753
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Danke für deine informative Antwort! Das werde ich noch ausarbeiten.

Eine kurze Frage erst: Reicht die Normalität der Varietät $X$ dafür, dass $CH^1(X)\cong Pic(X)$? Görtz-Wedhorn sagt dass es zunächst nur eine Injektion $Pic(X)=CaCl(X)\hookrightarrow CH^1(X)$ gibt.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1237
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-06


Stimmt, Surjektivität folgt aus lokal faktoriell, z.B. regulär.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 753
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2021-04-06 16:15 - kurtg in Beitrag No. 1 schreibt:
Die erste Chowgruppe, für normale Varietäten isomorph zur Cartierdivisorklassengruppe und Picardgruppe, eines Produktes $X \times_k Y$ ist $\operatorname{pr}_1^*\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Alb}_X, \mathbf{Pic}^0_{Y/k}) \times \operatorname{pr}_2^*\operatorname{Pic}(Y)$. Idee: Du kannst Zykel auf $X$ und $Y$ auf $X \times_k Y$ zurückziehen und Homomorphismen zwischen den Jacobivarietäten entsprechen geeigneten Korrespondenzen auf $X \times_k Y$. (Das sollte im Artikel von Milne über Jacobische in [Cornell-Silverman] stehen, der auch auf www.jmilne.org/math ist.)

Jede glatte rationale Varietät hat triviale Albanesevarietät nach der universellen Eigenschaft der Albanesevarietät, weil Morphismen rationaler Varietäten in abelsche Varietäten konstant sind. (Das gilt sogar für unirationale Varietäten. Einen Beweis findest du im Artikel von Milne über abelsche Varietäten in [Cornell-Silverman], der auch auf www.jmilne.org/math ist.) Also ist die Hom-Gruppe 0.
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Könntest du die genauen Stellen von Milnes Artikeln nennen?

Ich hatte mal den AV-Artikel von Milne gelesen, meiner Erinnerung nach werden rationale Varietäten nicht diskutiert, eine kurze Suche gerade liefert auch nichts... Aber der Beweis hierzu (der 2. Paragraf) ist vielleicht nicht schwer, wenn man die universelle Eigenschaft verstanden habe (tue ich nachher).

Im Jacobischen Aritkel findet ich auch keinen explizit behaupteten Isomorphismus
$$\operatorname{Pic}(X\times_k Y)\cong\operatorname{pr}_1^*\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Alb}_X, \mathbf{Pic}^0_{Y/k}) \times \operatorname{pr}_2^*\operatorname{Pic}(Y).$$ Ich weiß nicht ob der Beweis eine Routine-Verifikation ist...
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1237
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-07


Der Teil mit der Hom-Gruppe ist [Jacobian varieties, Corollary 6.3], aber dort nur für Kurven, doch der $H^1$-Anteil des Motivs ist im Wesentlichen die Jacobische. Du solltest den Beweis mit der universellen Eigenschaft der Albanese und der Picardvarietät auf beliebige Dimension verallgemeinern können. Um von der Hom-Aussage und Korrespondenzen auf $\operatorname{CH}^1(X \times_k Y)$ zu kommen: math.stackexchange.com/questions/241975/first-chow-group-of-the-product-of-two-curves

Die Sache mit rationalen Varietäten ist [Abelian varieties, Corollary 3.9].

Ah, es gibt von Milne Skripte und Artikel zu AV/JV. Ich meine die Artikel.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]