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 Maßtheorie Inhalt Klausur Tippfehler? |
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv 
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Mitteilungen: 87
 |  Themenstart: 2021-04-06
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Lieber Mathe-Planet,
in meiner Ana3-Klausur mussten wir zeigen, dass
$$ \mu(A) = \begin{cases} \sum_{n\in A} \frac{1}{n^2} \quad falls \; A \; endlich \; ist, \\ 2- \sum_{n \notin A} \frac{1}{n^2} \quad falls \; A^C \; endlich \; ist \end{cases} $$ ein Inhalt ist.
Ich glaube es muss $2^n$ sein statt $n^2$.
Es ist zu zeigen $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$ mit A und B disjunkt:
Falls A und B englich sind ist das klar. Auch falls nur A endlich ist und B unendlich ist, ist es auch machbar, da $n \notin A \cup B \Leftrightarrow n \in A^C \setminus B$. Dann (da $A \cup B$ unendlich):
$$ \mu(A \cup B) = 2- \sum_{n \notin (A \cup B)} \frac{1}{n^2} = 2- (\sum_{n \notin A} \frac{1}{n^2} - \sum_{n \in B} \frac{1}{n^2}) = \mu(A) + \mu(B) $$
Das Problem ist aber, wenn A und B unendlich sind. Wäre $2^n$ gemeint, dann ist $\sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{1}{2^n} = 2$ Daher folgt dann mit: $ n \in B \Leftrightarrow n \in \mathbb{N} \setminus B^C $. Daher:
$$ \mu(A \cup B) = 2- \sum_{n \notin (A \cup B)} \frac{1}{2^n} = 2- (\sum_{n \notin A} \frac{1}{2^n} - \sum_{n \in B} \frac{1}{2^n}) = \\ 2- (\sum_{n \notin A} \frac{1}{2^n} - (\sum_{n \in N} \frac{1}{2^n} - \sum_{n \notin B} \frac{1}{2^n} )) = 2- \sum_{n \notin A} \frac{1}{2^n} + 2 - \sum_{n \notin B} \frac{1}{2^n} = \mu(A)+\mu(B) $$
Nun stand dort aber $n^2$!
Meint ihr das war ein Tippfeher? Oder stimmt das auch.
LG Max
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.01.2020
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06
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DominikS
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Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 93
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-06
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Hallo,
das ist (unteranderem) eine Übungsaufgabe aus Otto Forsters Buch zur Analysis 3.
Die Aufgabe ist schon richtig gestellt, wenn du sie richtig zitierst.
Im besagten Buch liest sich die Aufgabe so:
Sei $\Omega:=\{1,2,3,\dotso\}$ die Menge aller positiven ganzen Zahlen und $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ die Mengenalgebra aller $A\subset \Omega$, so dass entweder $A$ oder das Komplement $A^c$ endlich ist.
$\mu:\mathcal{A}\to\mathbb{R}_+$ ist dann definiert wie von dir angegeben.
Dann ist $\mu$ ein Inhalt der nicht $\sigma$-additiv ist.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06
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Könntest Du mir dann einen Hinweis geben, wie man die Additivität in dem Fall zeigt, dass A und B unendlich sind.
LG Max
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DominikS
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Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 93
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-06
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Überlege dir, dass der in Frage stehende Fall gar nicht eintreten kann.
Die Mengen $A$ und $B$ sollen unendlich sein, mit endlichem Komplement.
Außerdem $A\cap B=\emptyset$. Das ist aber nicht möglich.
Warum?
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 87
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-06
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Also die einzige Idee, die ich da habe, ist dass $(A \cup B)^C$ nicht endlich sein kann (was es muss). Aber $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$ und das ist endlich, da $A^C$ und $B^C$ endlich sind. Daher kann der Fall auftreten.
Wo ist da mein Denkfehler?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3782
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-06
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
seien $A,B\subset \Omega$ disjunkte unendliche Teilmengen. Welche Teilmengenbeziehungen bestehen dann zwischen $A,B,A^c,B^c$?\(\endgroup\)
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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Ok danke. Ich galube ich habe es jetzt verstanden
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DominikS
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.02.2021
Mitteilungen: 93
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-07
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Dass dieser Fall nicht eintritt kannst du dir etwa so klar machen.
Da $A^c$ und $B^c$ endliche Teilmengen der natürlichen Zahlen sind, enthalten sie jeweils ein größtes Element. Sagen wir $a\in A^c$ und $b\in B^c$.
Dann liegt also jede größere natürliche Zahl in $A$ bzw. $B$. Also für $n\in\mathbb{N}$ mit $n>a$ gilt $n\in A$, und genau so für $n>b$ gilt $n\in B$.
Das heißt ab einer gewissen natürlichen Zahl liegen alle weiteren natürlichen Zahlen in $A$ und auch in $B$.
Dann können diese Mengen aber nicht disjunkt sein.
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