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Kein bestimmter Bereich Abgeschlossenheit + innere Verknüpfung
Magma93
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  Themenstart: 2021-04-07

Hallo, ich wollte die Abgeschlossenheit + die Notationen selbst für mich erklären, damit es sitzt. Kann ich es so schreiben? https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_2_a.png Danke, wer helfen kann.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-07

Im Allgemeinen ist $$ A_1\times \dots\times A_n \neq A^n=A\times \dots \times A. $$ Weiter bedeutet doch das Wort "innere" Verknüpfung bereits, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder ein Element der Menge ist. Eine innere Verknüpfung ist also bereits per Definition derart, dass sie Tupel von Elementen der Menge $A$ auf Elemente der Menge $A$ abbildet. Die zusätzliche Forderung $f(a_1,\dots,a_n)\in A$ ist also redundant. Besser wäre also: Seien $A$ und $B$ Mengen. Eine Abbildung $$ f\colon A^n\to B, \ (a_1,\dots,a_n)\mapsto f(a_1,\dots,a_n) $$ heißt eine $n$-stellige Verknüpfung. Ist nun $B=A$, so heißt $f$ eine innere $n$-stellige Verknüpfung auf $A$. In diesem Fall gilt also für alle $a\in A^n$, dass $f(a)\in A$. Man kann das noch etwas allgemeiner formulieren. Siehe zum Beispiel hier.


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Magma93
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07

Vielen Dank, zu der Seite, die du mir geschickt hast hätte ich eine Frage. Habe es mit einem Roten Pfeil gekennzeichnet. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_3_a.png Muss es denn nicht eher so heißen? \[0< m < n\] Denn, wenn wir annehmen, dass $0 \leq m < n$ gilt, dann ergibt sich folgende Falschheit: Sei folgendes gegeben: $m=0$ , da ja $m$ auch null sein darf. Sei weiterhin $n=5$. Es gilt für $A_i \neq B$ folgendes $1 \leq i \leq m$ Dann heißt es: $1 \leq i \leq 0$, und das ergibt einen Widerspruch. Aus diesem Grund hätten wir eine innere Verknüpfung, wo $A_i \neq B$ nicht vorhanden ist. Foglich heißt es: \[B\times B\times B\times B \times B \rightarrow B\]


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-07

Was du sagst ist alles korrekt. Ich bin mir dabei zwar nicht ganz sicher, aber ich denke man wollte hier eben bei den äußeren Verknüpfungen die inneren als Spezialfall aufführen. So steht es auf der Wikipedia Seite auch im darauffolgenden Satz 😁 Wenn man das nicht möchte, dann müsste man, wie du richtig sagst, $m\neq 0$ fordern. Liebe Grüße, Nico


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Kitaktus
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-07

Man kann nicht in das Gehirn des Autors schauen und wissen, ob er einen Begriff so oder so definieren wollte. Die angegebene Version ist aber legitim. Kommt das $B$ unter den $A_i$ mindestens einmal vor, dann spricht man von einer "äußeren n-stelligen Verknüpfung" mit der Konsequenz, dass jede _innere_ n-stellige Verknüpfung auch eine _äußere_ n-stellige Verknüpfung ist. Das wirkt etwas merkwürdig, weil man das Gefühl haben könnte, "innere" und "äußere" Verknüpfungen müssten etwas verschiedenes sein. Tatsächlich ist es in der Mathematik eher üblich Begriffe hierarchisch aufzubauen als einander ausschließend. "Quadrate sind spezielle Rechtecke und "Rechteck" ist die Verallgemeinerung von Quadrat" -- entspricht viel mehr den mathematischen Gepflogenheiten als "Sind die Seiten paarweise parallel und ... senkrecht und ... gleichlang, dann ist es ein Quadrat, sind die beiden Paare paralleler Seiten dagegen verschieden lang, dann ist es ein Rechteck(*)". Die Variante (*) trifft man leider in der Schule verstärkt an, so dass viele Kinder meinen, Quadrate seien keine Rechtecke(**), was dann natürlich verwirrend ist, wenn man sich der "richtigen"(***) Mathematik nähert, in der Quadrate sehr wohl Rechtecke sind. (**) In der Sendung "Wer wird Millionär" gab es mal den Eklat, dass eine Frage nur dann beantwortbar war, wenn man davon ausgeht, dass Parallelogramme keine Trapeze sind. Die Redaktion hat sich darauf berufen, das in verschiedenen Lexika so gelesen zu haben. (***) Noch mal zur Klarstellung: Bei Definitionen gibt es kein "richtig" und "falsch"(****). Es gibt üblich und unüblich, zweckmäßig und weniger zweckmäßig. Ob die natürlichen Zahlen die 0 enthalten, definieren die einen so und die anderen so. Es gibt allerdings Definitionen, die so einheitlich gebräuchlich sind (wie z.B. Rechteck und Quadrat), dass man Abweichungen davon einfach sein lassen sollte. (****) Ja, klar, in einer Prüfung möchte der Prüfer _die_ Definition hören, die im Unterricht/ der Vorlesung verwendet wurde. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Magma93
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07

Hallo, Danke euch erstmal. Mir ist etwas eingefallen, wie $0 \leq m < n$ doch funktioniert. Sei m=0. Sei n=5. Dann gilt $1 \leq i \leq 0$. Dann hätten wir einen Operatorenbereich $\{ \varnothing \}$ (leeres kartesisches Produkt). Dieses leere kartesische Produkt wäre ja sozusagen außerhalb der Menge $B$ und es würde sich dadurch um eine äußere Verknüpfung handeln. \[\{\emptyset \} \times B \times B \times B \times B \times B \rightarrow B \] Kann ich so schlussfolgern?


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