Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » EW 0 im unendlichdimensionalen VR
Autor
Universität/Hochschule EW 0 im unendlichdimensionalen VR
Anni_Hilator
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.04.2021
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2021-04-07

Hallo, ich habe eine Frage im Bereich der Funktionalanalysis: Die Spektralsätze zu kompakten Operatoren treffen nur Aussagen über das Spektrum, wobei die 0 ausgeschlossen ist. Wann bzw. kann ein unendlich dimensionaler Vektorraum 0 als Eigenwert besitzen oder geht das nur im Falle eines endlich dimensionalen Vektorraums ?


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 509
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-08

Hallo Anni_Hilator, \quoteon(2021-04-07 23:27 - Anni_Hilator im Themenstart) Die Spektralsätze zu kompakten Operatoren treffen nur Aussagen über das Spektrum, wobei die 0 ausgeschlossen ist. \quoteoff Es gilt stets \(0\in\sigma(A)\), wenn \(A\) ein kompakter Operator auf einem unendlichdimensionalen Banachraum ist, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_(Operatortheorie)#Spektren_kompakter_Operatoren \quoteon(2021-04-07 23:27 - Anni_Hilator im Themenstart) Wann bzw. kann ein unendlich dimensionaler Vektorraum 0 als Eigenwert besitzen oder geht das nur im Falle eines endlich dimensionalen Vektorraums ? \quoteoff Operatoren auf Vektorräumen besitzen Eigenwerte, nicht die Vektorräume selbst. Schau Dir für eine Nullfolge \(a=(a_n)\) mal den Operator \(A\) auf \(l^2\) an, der durch \(A(x_n):=(a_nx_n)\) definiert ist. Dieser ist kompakt und es gilt \(\sigma_p(A)=a(\mathbb{N})\) und \(\sigma(A)=a(\mathbb{N})\cup\{0\}\). Jedes \(\lambda\in a(\mathbb{N})\) ist also ein Eigenwert. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe, dann ist \(\ker(\lambda-A)\) gegeben durch alle Folgen \((x_n)\in l^2\) mit der Eigenschaft \(x_n=0\) für alle \(n\in\mathbb{N}\setminus a^{-1}(\lambda)\), d.h. die Vielfachheit jedes Eigenwertes \(\lambda\) ist \(\#a^{-1}(\lambda)\), insbesondere endlich für alle \(\lambda\neq0\). Jeder der Fälle \(\#a^{-1}(0)\in\mathbb{N}_0\cup\{\infty\}\) ist möglich, d.h. je nachdem wie Du die Folge \(a\) wählst, ist \(0\) kein Eigenwert, ein Eigenwert endlicher Vielfachheit oder ein Eigenwert unendlicher Vielfachheit. Deswegen kannst Du außer \(0\in\sigma(A)\) für kompakte Operatoren keine weiteren Aussagen über die \(0\) treffen.


   Profil
Anni_Hilator hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Anni_Hilator wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]