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  Zeigen, dass eine Menge abzählbar ist |
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Schnubelub
Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 111
 |  Themenstart: 2021-04-08
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Hallo, ich stecke bei folgender Aufgabe für meine Maßtheorie Vorlesung. Ich tue mir noch schwer mit überabzählbaren Mengen umzugehen:
Sei S eine \sigma-Algebra über der überabzählbaren Grundmenge \Omega, die alle einpunktigen Mengen {w}, w\el\ \Omega enthält. Sei \mue ein endliches Maß auf (\Omega,S). Man zeige, dass D={w\el \Omega: \mue({w})>0} abzählbar ist.
Den Fall \Omega=\IR konnte ich schon zeigen, indem ich
D_n:={w\el\ [-n,n]: \mue(w)>1/n } setze. Somit ist D_n eine beschränkte Menge, also gilt
1/n *card(D_n) <=\mue(D_n)<=\mue([-n,n])<\inf
=> \forall\ n\el\ \IN: card(D_n)<\inf
card(D)=card(union(D_n,n\el\ \IN))<=sum(card(D_n),n\el\ \IN)<=card(\IN)
Wie könnte ein Beweis für card(\Omega)>card(\IR) ausschauen? Habe da leider noch keinen vernünftigen Ansatz gefunden.
Danke für eure Tipps und Hinweise. LG
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 Profil
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
du hast in deinem Beweis die Annahme gemacht, dass $[-n,n]\in S$ gilt. Das ist im Allgemeinen aber nicht so.
Die Idee deines Ansatzes lässt sich aber retten:
Betrachte die Mengen $D_n:=\{w\in \Omega \mid \mu(\{w\})> \frac 1n\}$. Warum ist $D_n$ für jedes $n>0$ eine endliche Menge?\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11
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Danke für die Antwort! Ich denke ich habe es jetzt mit Inspiration deiner Antwort zeigen können:
Angenommen card(D)>card(\IN).
Angenommen für \forall\ \epsilon>0: card({w\el\ \Omega: \mue({w})>=\epsilon})<\inf
Definiere D_n:={w\el\ \Omega: \mue({w})>1/n }.
\forall\ n\el\ \IN: D_n endlich => union(D_n,n\el\ \IN)=D höchstens abzählbar. Widerspruch zur Annahme, dass card(D)>card(\IN).
Also \exists\ \epsilon>0: card(B_\epsilon:={w\el\ \Omega: \mue({w})>=\epsilon})>=card(\IN).
Wähle T_\epsilon\subsetequal\ B_\epsilon: card(T_\epsilon)=card(\IN).
T_\epsilon=union({w},w\el\ T_\epsilon). Laut Voraussetzung gilt \forall\ w\el\ T_\epsilon\subsetequal\ \Omega: {w}\el\ S.
Da S gegenüber abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist T_\epsilon\el\ S.
Da \mue auf S endlich, gilt \mue(T_\epsilon)<\inf.
Jedoch ist \mue(T_\epsilon)=sum(\mue({w}),w\el\ T_\epsilon)>=sum(\epsilon,w\el\ T_\epsilon)=\inf Widerspruch.
=> card(D)<=card(\IN)
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