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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Permutationsproblem formulieren - Differenzen
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Universität/Hochschule Permutationsproblem formulieren - Differenzen
hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-10


Liebe Alle,

kämpfe gerade mit folgender Aufgabe:

Gegeben:
\[\sigma \text{ ist eine Permutation (bijektive Abbildung auf sich selbst) } M:=\{ 1\dots n \} \\
\begin{eqnarray*}
\sigma : M &\rightarrow M  \\
i &\mapsto \sigma(i)
\end{eqnarray*}
\]
Wie kann ich jetzt folgendes Problem sauber mit Quantoren, Mengen, Folgen, etc.. formulieren:

Zeigen Sie dass die Folge der Differenzen \( j-i\) bis auf die Reihenfolge und das Vorzeichen gleich mit den Differenzen \(\sigma(j)-\sigma(i)\) ist, wobei gilt: \( (i,j \in M) \wedge (i <j) \)


Danke und
Lg Hari



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10


Hallo hari01071983,

ist das wirklich die Aufgabenstellung? Was soll z. B. die "Folge der Differenzen" sein? Was meinst du mit \((i,j)\in M\)?

Möchtest du nur eine andere Formulierung der Aufgabenstellung oder eine Lösung der Aufgabe?



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10


Zuerst will ich mal die Formulierung des Problems dann natürlich die Lösung. Wenn ich das Problem nicht mal formulieren kann, werde ich es auch nicht lösen können.

Für alle Folgenglieder soll gelten \(i<j\). Ein Folgenglied ist die Differenz von j und i (bzw.: \(\sigma(j) \text{ und } \sigma(i)\) ) , also \(j-i\) bzw.: \(\sigma(j) -\sigma(i)\)
Bei einer 3 elementigen Menge gibt es 3 Möglichkeiten: 1<2, 1<3 und 2<3

Bsp identische Permutation mit 3 Elementen:
\[
\begin{eqnarray*}
 \sigma_1 = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{array} \right) & \\
\text{Folge der Differenzen } j-i = & (2-1,3-1,3-2) =(1,2,1) \\
\text{ und } &\\
\text{Folge der Differenzen } \sigma(j)-\sigma(i) = &  (2-1,3-1,3-2) =(1,2,1)
\end{eqnarray*}
\]
Bsp andere Permutation mit 3 Elementen:
\[
\begin{eqnarray*}
 \sigma_2 = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array} \right) & \\
\text{Folge der Differenzen } j-i = & (2-1,3-1,3-2) =(1,2,1) \\
\text{ und } &\\
\text{Folge der Differenzen } \sigma(j)-\sigma(i) = &  (3-1,2-1,2-3) =(2,1,-1)
\end{eqnarray*}
\]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-11

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

du willst zeigen, dass es für jedes $k\geq 0$ eine Bijektion zwischen der Menge $\{(i,j)\in M^2\mid i<j \land j-i=k\}$ und der Menge $\{(i,j)\in M^2\mid i<j \land |\sigma(j)-\sigma(i)|=k\}$ gibt.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-11


Oder so:

Sei \(N=\{(i,j)\in M^2\mid i<j\}\). Dann gibt es eine Bijektion \(\varphi:N\rightarrow N\), sodass
\[\forall (i,j),(m,n)\in N:(\varphi(i,j)=(m,n)\Rightarrow j-i=|\sigma(n)-\sigma(m)|)\]



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


2021-04-11 09:58 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4 schreibt:
Oder so:

Sei \(N=\{(i,j)\in M^2\mid i<j\}\). Dann gibt es eine Bijektion \(\varphi:N\rightarrow N\), sodass
\[\forall (i,j),(m,n)\in N:(\varphi(i,j)=(m,n)\Rightarrow j-i=|\sigma(n)-\sigma(m)|)\]

Sehr gute Idee, aber ich glaube leider nicht ganz richtig, da (m,n) zwar aus N sein kann, nicht aber muss.

z.B.:

\[
\begin{eqnarray*}
 \sigma_2 = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}\\
 \text{liefert folgendes N}:= \{(3,1),(3,2),(2,1)\} \\

\text{Die Tupel wenn man } \sigma \text{ anwendet, sehen so aus } \{(2,1),(2,3), (3,1)\}
\]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-12


Eigentlich ist doch N = {(1,2), (1,3), (2,3)}.

Wenn du nun auf jede Komponente eines jeden Elements von N \(\sigma_2\) anwendest, ergibt sich {(1,3), (1,2), (3,2)}. Das ist nicht gleich N; das ist wohl richtig, da \((3,2)\not\in N\). Aber es geht doch nur um den Betrag der Differenzen, wenn ich dich richtig verstanden habe.

Hier passt also \(\varphi(1,2)=(1,3),~\varphi(1,3)=(1,2),~\varphi(2,3)=(2,3)\).




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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


Du hast natürlich in allen Punkten recht. Es ist mir halt nur aufgefallen das (m,n) nicht aus N sein muss.

Und ja: mir geht es eigentlich nur um den Betrag . Wie ich das aber zeigen soll, dass diese Beträge im Allgemeinen übereinstimmen ist mir ein Rätsel. (Es muss ja für jede beliebige Permutation gelten.)

Vielen herzlichen Dank



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-12


\[
\begin{eqnarray*}
 \sigma_2 = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}
\] hier ist es nicht so trivial:
\(\varphi(1,2)=(2,3),~\varphi(1,3)=(2,1),~\varphi(2,3)=(3,1)\)
Bilden wir jetzt die Beträge der Differenzen:
hier haben wir einmal: 1,2,1
und dann: 1,1,2.

Die Frage ist: wie kann ich im Allgemeinen zeigen dass hier z.B. gleich viele 1er und gleich viele 2er auftreten.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-12


Das ist mehr oder weniger trivial, wie ich finde.

Betrachte statt N die Menge N' der Paare {i,j} mit \(i\neq j\). Durch eine Permutation von M werden dann lediglich die Elemente von N' umbenannt. Eine Permutation \(\sigma\) von M ergibt also auf natürliche Weise eine Permutation \(\varphi\) von N', nämlich \(\varphi(\{i,j\})=\{\sigma(i),\sigma(j)\}\). Somit bleiben die (Beträge) der Differenzen dieselben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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