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Universität/Hochschule Nullstellenberechnung
Erdnusshonig
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-13


Hallo liebe Matroids Matheplanet Mitglieder,
ich scheitere an folgender Gleichung:

ln(2x+3)+2x/(2x+3)=0

All meine Versuche, die Gleichung nach x aufzulösen führten ins Leere.

Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2021-04-13 21:30 - Erdnusshonig im Themenstart schreibt:
ich scheitere an folgender Gleichung:

ln(2x+3)+2x/(2x+3)=0

All meine Versuche, die Gleichung nach x aufzulösen führten ins Leere.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Das ist kein Wunder: diese Gleichung ist transzendent und kann mit elementaren Mitteln nicht nach \(x\) aufgelöst werden.

In welchem Zusammenhang stellt sich dir das Problem denn?

Es gäbe ja bspw. die eine oder andere Möglichkeit, die Gleichung näherungsweise zu lösen.

Gibt es da eine Aufgabenstellung dazu? Falls ja: es wäre u.U. hilfreich, wenn du diese noch posten könntest.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Erdnusshonig
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Vielen Dank für Ihre Antwort!

Ich habe die Aufgabe aus einem Mathebuch mit der Aufgabenstellung, einen Wert für x zu ermitteln. Allerdings soll die Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden.

Wenn ich die Gleichung bei Wolfram Alpha eingebe, erhalte ich folgende Lösung für x:

x = 1/2 (e^(W(3 e) - 1) - 3)

Wie kommt man auf diese Lösung?

Vielen Dank

Erdnusshonig



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-13


Hallo

In welchem Zusammenhang steht die Gleichng? Wie lautet die Orginalaufgabe?
W ist die Lambertsche W-Funktion, habt ihr die schon behandelt?

Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

das ist eine Lösung, die mit Hilfe der sog. LambertW-Funktion gewonnen wurde. Damit geht das dann tatsächlich explizit.

(Offiziell wird diese Funktion mittlerweile sogar den elementaren Funktionen zugeordnet, aber man muss sie eben kennen und verstehen, was nicht ganz einfach ist...)

2021-04-13 21:48 - Erdnusshonig in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe die Aufgabe aus einem Mathebuch...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Wenn man jetzt noch wüsste, was das für ein Mathebuch ist. Also: für 10. Klässler Gymnasium (wohl eher nicht 😉), oder doch ein irgendwie geartetes Lehrbuch?

Die einzige Lösung liegt etwa bei \(x\approx-0.57\). Das könnte man bspw. auch mit dem Newton-Verfahren ermitteln.

Irgendeinen fachlichen Hintergrund muss die Aufgabe doch haben, und davon hängt bei solchen Fragen eine zielführende Antwort nun einmal ab (du siehst ja selbst: Wolfram alpha haut halt die LambertW-Funktion raus, wenn man die nicht kennt, hat man Pech gehabt...).


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Erdnusshonig
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Hallo Caban,

Ich weiß, worum es sich bei der Lambertschen W-Funktion handelt, allerdings ist mir nicht klar, durch welche Umformungen man schließlich die angegebene Lösung erhält. Es wäre wirklich sehr nett, wenn Sie mir dies erklären könnten.

Viele Grüße

Erdnusshonig

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Erdnusshonig
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-13


Hallo,

ich besuchte die elfte Klasse eines Gymnasiums. Für die Aufgabe würde es sicherlich reichen, die Lösung näherungsweise anzugeben, allerdings würde es mich sehr interessieren, wie einem die Umformung hin zu der Lösung von Wolfram Alpha gelingt.

Viele Grüße



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-13


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-13


Huhu Erdnusshonig,

\(\displaystyle \log(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}=0\quad|\cdot(2x+3)\)

\(\displaystyle (2x+3)\log(2x+3)+2x=0\quad|u:=2x+3\)

\(\displaystyle u\log(u)+u-3=0\)

\(\displaystyle u(\log(u)+1)=3\quad|z:=\log(u)\)

\(\displaystyle e^z(z+1)=3\quad|k:=z+1\)

\(\displaystyle ke^{k-1}=3\quad|\cdot e\)

\(\displaystyle \ldots\)

Den Rest schaffst du sicherlich alleine.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-13


Hallo Erdnusshonig,

zwar ist das kein Stoff der 11. Klasse, aber die LambertW-Funktion
ist die bei Wissenschaftlern anerkannte Umkehrfunktion von x*e^x.
(Link bei Wiki hatten wir hier ja schon)
Oft auch ProductLog[n,x] für n=-2...3 für mehrere komplexe Nullstellen.

Mehr dazu unter www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

Dieses Beispiel habe ich bereits dort unter §9 umgestellt & Du brauchst nur einsetzen:

ln(2x+3)+2x/(2x+3)=0 |*(2x+3) mit §9 a=2; b=3; c=2
x={e^[LambertW(e^(c/a)*c*b/a)-c/a]-b}/a
x={e^[LambertW(e^(2/2)*2*3/2)-2/2]-3}/2
x=(e^(LambertW(3 e) - 1) - 3)/2
x=(E^(ProductLog[0,3E] - 1) - 3)/2
x=-0.572724640451936913907329827935905234474791593...
Probe:
ln(2x+3)+2x/(2x+3),x=-0.572724640451936913907329827935905234474791593
=10^-45 -> also 45 Stellen genau
Tests auf weitere n (1. Parameter) außer 0, da oft noch komplexe x möglich sind: kommen immer Werte ungleich 0 heraus
-> hier gibt's wirklich nur 1 Nullstelle

Neben Mathematica findest Du unten auf der Beispielseite weitere Rechner,
die LambertW berechnen können. (oft jedoch nur mit 1 Argument).

P.S.:
Bei 2 Lösungen habe ich oft statt n=-1 , 0 habe ich oft -½ ± ½ geschrieben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Erdnusshonig
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14


Hallo HyperG,

vielen Dank für Ihre Antwort! Die Herleitung auf der Internetseite in Ihrer Antwort war genau das, wonach ich gesucht habe.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wario
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-14


2021-04-13 21:30 - Erdnusshonig im Themenstart schreibt:
ln(2x+3)+2x/(2x+3)=0

2021-04-13 21:48 - Erdnusshonig in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich die Gleichung bei Wolfram Alpha eingebe, erhalte ich folgende Lösung für x:

x = 1/2 (e^(W(3 e) - 1) - 3)

Wie kommt man auf diese Lösung?

Indem man weiß, wie die Lambert-W Funktion definiert ist:
$xe^x=a ~:\Leftrightarrow~ x = W(a)$

$\ln(2x+3) +\dfrac{2x}{2x+3}=0$ wird mit $X=2x+3$ zu
$\ln(X) +\dfrac{X-3}{X} =0  \\
\Rightarrow~ e^{\ln(X) +\frac{X-3}{X}} = e^0 \\
\Leftrightarrow~ Xe^{\frac{X-3}{X}} = 1 \\
\Leftrightarrow~ Xe^{1-\frac{3}{X}} = 1 \\
\Leftrightarrow~ X  \dfrac{e}{e^\frac{3}{X}}= 1 \\
\Leftrightarrow~ e  = \dfrac{1}{X} e^\frac{3}{X} \\
%\Leftrightarrow~ e  = \dfrac{1}{3} \dfrac{3}{X} e^\frac{3}{X} \\
\Leftrightarrow~ 3e  =  \dfrac{3}{X} e^\frac{3}{X} \\
:\Leftrightarrow~ \dfrac{3}{X} = W(3e) \\
\Leftrightarrow~ \underline{\underline{  X =\dfrac{3}{W(3e)}  }}
$

Hinweis: Wegen $W(a)e^{W(a)} :=a
~\Leftrightarrow~ W(a) =\dfrac{a}{e^{W(a)}}$ stimmt auch die unnötig komplizierte Darstellung $
X = e^{W(3 e) - 1}
$ von W|A.


Wenn aber die Lambert-W Funktion nicht eingeführt wurde

2021-04-13 22:15 - Erdnusshonig in Beitrag No. 6 schreibt:
die elfte Klasse eines Gymnasiums. Für die Aufgabe würde es sicherlich reichen, die Lösung näherungsweise anzugeben

soll man das sicher nicht so machen, sondern ggf. ein Näherungsverfahren verwenden, z.B. das

 



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