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Analysis » Maßtheorie » endliche Vereinigung von Intervallen sigma-Algebra
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Universität/Hochschule endliche Vereinigung von Intervallen sigma-Algebra
MalibuRazz
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  Themenstart: 2021-04-14

Hallo, gegeben ist $\bar{\mathbb{R}}= \mathbb{R}\cup\{-\infty, \infty\}$ und die Menge aller Intervalle auf \mathbb{R} : $\Im := \{A \in P(\mathbb{R}) | \exists a,b \in \bar{\mathbb{R}}: A=(a,b),A=(a,b], A=[a,b) \vee A=[a,b] \}$ wobei das a bis a Intervall immer die leere Menge ist. Entscheide ob: $\bar{A}:=\{A \in P(\mathbb{R})| \exists n\in \mathbb{N}, \exists I_1, ..., I_n \in \Im: A=\bigcup_{i=1}^n I_i disjunkt\}$ eine sigma-Algebra oder Mengenalgebra ist. Mein grober Ansatz: Ich kann ja zum besseren Verständnis der Mengen das A in der Menge $\Im$ durch $I$ ersetzen, oder? Ich denke, dass es eine Mengenalgebra ist, dazu überprüfe ich ja die Axiome: die leere Menge ist da enthalten, da das Intervall von a bis a so definiert ist. Mein Problem: ich muss ja zeigen, dass auch die Vereinigung von zwei Elementen $A_1, A_2 \in \bar{A}$ wieder in der Menge enthalten ist, das ist ja gerade als die Vereinigung von Intervallen aus $\Im$ definiert. Zum Komplement: $A^C = \Omega \backslash A =\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^n $. Ist das denn wieder enthalten? Für eine sigma-Algebra muss ja auch die abzählbar unendliche Vereinigung enthalten sein... Würde mich über Hilfe freuen!

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MalibuRazz
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14

UPDATE: ich glaube ich habe es geschafft die Mengenalgebra-Axiome zu zeigen. Jetzt muss ich nur noch überlegen, ob es auch eine $\sigma$-Algebra ist... ich glaube, dass es keine ist, sprich dass die abzählbar unendliche Vereinigung von $A \in \bar{A}$ nicht wieder in $\bar{A}$ enthalten ist, hat wer eventuell ein Gegenbeispiel oder kann mir Tipps geben? Danke!!

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