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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Aufsteigende Kette von Körpereinbettungen
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Universität/Hochschule J Aufsteigende Kette von Körpereinbettungen
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-14


Hallo,
ich habe ein kleines Problem. Bei einer aufsteigenden Kette von Mengen $A_0 \subset A_1 \subset ....$ von abzählbar unendlich vielen Mengen kann man eine Menge definieren, die alle $A_i$ enthält, nämlich einfach deren Vereinigung. Ist das einfach der Kolimes von den Mengen bzgl. der natürlichen Einbettung?

Und wenn ich genau das gleiche Szenario habe, aber mit Körpereinbettungen $L_0 \hookrightarrow L_1 \hookrightarrow L_2 \hookrightarrow ...$, gibt es da einen Körper, wo ich die $L_i$ einbetten kann, der mit dem Diagramm kommutiert? Das wäre auch ein Kolimes oder?
Ich würde mich über eine Konstruktion freuen. Ich bin mir sicher, dass es solch einen Körper gibt, nur ist die Konstruktion, die ich im Kopf habe sehr eklig... Idee ist eine Inklusion von Körpern zu bekommen via rausschneiden von Mengen und hinzufügen von Mengen, was aber sehr unpraktisch ist und schwierig zu formalisieren.

Danke!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-14


Du kannst den (gerichteten) Kolimes in der Kategorie der Ringe bilden, der übrigens genau wie in der Kategorie der Mengen gebildet wird, mit den offensichtlichen Operationen (siehe etwa Satz 6.5.16 in diesem Buch, oder auch Example 11.28(4) in diesem Buch). Dieser ist hier dann sogar ein Körper, weil jedes Element $\neq 0$ bereits von einem der beteiligten Körper stammt, also dort invertierbar ist. Zwar besteht der Kolimes-Kokegel nicht unbedingt aus mengentheoretischen Inklusionen, aber die sind sowieso irrelevant; eine Körpererweiterung ist einfach ein Körperhomomorphismus. Wenn die $L_i \to L_{i+1}$ aber mengentheoretische Inklusionen sind (wolltest du das annehmen?), ist die ganz normale Vereinigungsmenge $L = \bigcup_i L_i$ der Kolimes in der Kategorie der Mengen, und darauf kannst du eine eindeutige Körperstruktur definieren derart, dass die Inklusionen $L_i \to L$ Homomorphismen werden.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14


Eventuell so?
Idee: Ersetzen induktiv die Körper durch isomorphe Körper, welche Inklusionen als Einbettung haben und vereinigen über die aufsteigende Kette von Inklusionen...
$K_0 := L_0$
$K_1 := L_1\setminus i_0(K_0) \cup K_0$, wobei das nicht ganz sauber ist, falls $L_0 \cap L_1 \neq \emptyset$ (hieran sieht man, dass Mengenlehre unpraktisch ist in der Algebra 😃). Aber wir tun mal so, als ob wir einfach die Symbole austauschen und intuitiv unterscheiden können, ob das Element aus $L_0$ kam oder schon in $L_1$ war (Achtung nicht formal und umgangstsprachliche Verwendung vom Begriff "Typ": Idee von mir ist Elemente aus $L_1\setminus i_0(L_0)$ als "Typ" in $L_1$ zu realisieren und Elemente aus $L_0$ als "Typ" in $L_0$ zu realisiseren. Soll heißen, auch wenn es mengentheoretisch die gleichen Elemente sind, ist deren Typ anders und wir behandlen sie als unterschiedliche Objekte).
Wir erhalten $K_0 \subset K_1$, beides Körper. Jetzt wird $K_1$ auf natürliche Weise in $L_2$ eingebettet. Führe obige Prozedur induktiv fort.


Vielleicht kann ein erfahrener Mathematiker von euch das formalisieren oder sagen, ob es in die richtige Richtung geht.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-14


Komplemente haben hier nichts zu suchen.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14


Ah ok, ich sehe es Triceratops. Vielen Dank!
Für andere: Man nimmt die disjunkte Vereinigung der Körper und führt eine Äquivalenzrelation ein, wo wir Elemente miteinander identifizieren (die Idee dahinter ist in diesem Fall sogar sehr natürlich, da Einbettungen die Struktur vollkommen respektieren und sozusagen nur die Symbole ändert, welche als gleich angesehen werden sollten).

Die Einbettungen sollten schon allgemein sein und nicht mengentheoretische Inklusionen (sonst wäre es ja einfach 😄).

Edit: Du hast deinen Beitrag editiert und so den Verweis auf die Stelle im Buch geändert. Ich weiß nicht, ob das beabsichtigt war. Beispiel 6.3.20. war das, was mir geholfen hat.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-15


2021-04-14 23:46 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Man nimmt die disjunkte Vereinigung der Körper und führt eine Äquivalenzrelation ein, wo wir Elemente miteinander identifizieren

So gehen grundsätzlich alle (filtrierte) Kolimes Konstruktionen von grob gesagt Kategorien mit Mengen und zusätzlicher Struktur (Mengen, Gruppen, Moduln, Ringe, ...). Das ist z.B. in der Referenz von Triceratops. Ich hatte das auf S. 42 in Vakils AG Buch in 1.4.D (+ Paragraph dadrauf) gelernt.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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