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Mathematik » Geometrie » Beweis Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende
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Universität/Hochschule Beweis Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende
Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-14 22:59


Aufgabe:

In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis.




Beweis:

Jetzt seien F und F′ die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von AB mit der inneren und äußeren Winkelhalbierenden F′ von ∡ACB ≡ γ. Dann muß der Umkreismittelpunkt von △ABC auf der Geraden g(F, F’) liegen und irgendeine Strecke auf g gleich dem Durchmesser des Umkreises sein.

Nun ist  ∡FCF‘ = 90◦ ;somit geht der Thales-Kreis k über FF′ durch Eckpunkt C.

Gleichzeitig geht k durch A (und wegen der Symmetrie auch durch B) und AB ist somit gerade der Umkreis. Mithin liegen die Schnittpunkte F und F′ auf dem Umkreis.





Ich soll den Beweis erklären, verstehe ihn aber nicht so ganz.



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-14 23:11


Hallo

Welchen Schritt verstehst du nicht?

Gruß Caban



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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-14 23:20


Wie man den Beweis einfacher erklären kann. Für “nicht Mathe Begabte” Personen



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-15 00:23


Hallo

Kannst du begründen, das der Winkel FCF' 90° ist, das ist der Schlüssel zum Beweis?

Gruß Caban



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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 10:40


Die Gerade g ist ein Durchmesser von k, also geht g durch den Mittelpunkt des Umkreises.
Somit ist k der Thaleskreis zum Dreieck CFF‘.
Stimmt das?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-15 10:51

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

2021-04-15 10:40 - Moneybee in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Gerade g ist ein Durchmesser von k, also geht g durch den Mittelpunkt des Umkreises.
Somit ist k der Thaleskreis zum Dreieck CFF‘.
Stimmt das?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Nein. Du musst den rechten Winkel bei C ohne den Satz des Thales begründen. Wenn du das gechafft hast, folgt daraus, dass der Kreis durch F, C und F' bzgl. dieser Punkte Thaleskreis ist.

Und dann muss man ja auch noch begründen, warum der Punkt A (und damit aus Symmetriegründen auch B) auf diesem Kreis liegen.

Was ist das denn für ein Winkel, der Winkel \(\angle FCF'\)? Also zwischen welchen Objekten liegt dieser Winkel? Daraus folgt sofort, dass es sich um einen rechten Winkel handeln muss.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-15 13:01


Huhu,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 10:51 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Was ist das denn für ein Winkel, der Winkel \(\angle FCF'\)? Also zwischen welchen Objekten liegt dieser Winkel?
\(\endgroup\)

wie meinst du das? Diesen Hinweis verstehe ich nicht. Was sind denn hier "Objekte"?

@Moneybee:

Das ist eine einfache bekannte Tatsache, welche man oftmals in der Geometrie nutzen kann (aktuell war auch eine Aufgabe im BWM):



Falls du das beweisen willst benenne die Winkel im Bild und schreibe eine Gleichung auf. Bedenke, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Dein Satz ist übrigens bekannt unter dem Namen Südpolsatz.

Gruß,

Küstenkind



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-15 13:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
@Kuestenkind:
2021-04-15 13:01 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 10:51 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Was ist das denn für ein Winkel, der Winkel \(\angle FCF'\)? Also zwischen welchen Objekten liegt dieser Winkel?
\(\endgroup\)
wie meinst du das? Diesen Hinweis verstehe ich nicht. Was sind denn hier "Objekte"?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Die Objekte sind: innere und äußere Winkelhalbierende. Und damit ist der rechte Winkel klar. 🙂


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 14:32


Ich habe leider keine Idee, wie ich beweisen/begründen kann, dass bei C ein rechter Winkel. ist.

Aber da F auf der Mittelsenkrechte von AB liegt,  ist die Strecke AF und BF gleich lang.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-15 14:43

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
2021-04-15 14:32 - Moneybee in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich habe leider keine Idee, wie ich beweisen/begründen kann, dass bei C ein rechter Winkel ist.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Der Winkel \(\angle FCF'\) bei C ist der Winkel zwischen

- einer inneren und
- einer äußeren Winkelhalbierenden.

Welchen Winkel schließen diese beiden stets ein?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 14:48


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 14:43 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
2021-04-15 14:32 - Moneybee in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich habe leider keine Idee, wie ich beweisen/begründen kann, dass bei C ein rechter Winkel ist.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Der Winkel \(\angle FCF'\) bei C ist der Winkel zwischen

- einer inneren und
- einer äußeren Winkelhalbierenden.

Welchen Winkel schließen diese beiden stets ein?

\(\endgroup\)

Die Strecke CF teilt ja den Winkel γ zwischen AC und BC.
Und  FF‘ teilt AB.

Das sind die inneren Winkelhalbierende also?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-15 14:51

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
2021-04-15 14:48 - Moneybee in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Strecke CF teilt ja den Winkel γ zwischen AC und BC.
Und  FF‘ teilt AB.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Nein. \(\overline{CF}\) ist die innere und \(\overline{CF'}\) die äußere Winkelhalbierende. Schlage diese Begriffe einmal nach, ohne die kann man ja die Aufgabenstellung überhaupt nicht verstehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 14:53


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 14:51 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
2021-04-15 14:48 - Moneybee in Beitrag No. 10 schreibt:
Die Strecke CF teilt ja den Winkel γ zwischen AC und BC.
Und  FF‘ teilt AB.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Nein. \(\overline{CF}\) ist die innere und \(\overline{CF'}\) die äußere Winkelhalbierende.
\(\endgroup\)

Achso, CF ist die innere, da sie das Dreieck ABC teilt und CF‘ die äußere, weil sie nicht im Dreieck liegt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-15 15:11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
2021-04-15 14:53 - Moneybee in Beitrag No. 12 schreibt:
Achso, CF ist die innere, da sie das Dreieck ABC teilt und CF‘ die äußere, weil sie nicht im Dreieck liegt?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Genau! 👍

Und innere und äußere Winkelhalbierende bilden zusammen stets einen rechten Winkel. Daher weißt du jetzt, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks auf der Geraden \(g(F,F')\) liegt, wie in der Erklärung im Themenstart ja ausgeführt wird.

Jetzt gilt es nur noch zu begründen, dass der Kreis durch \(C\), \(F\) und \(F'\) bereits der Umkreis ist.

In Beitrag #6 hat Kuestenkind doch die Wikipediaseite zum Südpolsatz verlinkt. Dort ist das alles recht gut erklärt. Hast du dir das schon angesehen?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-15 15:14


2021-04-15 13:24 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Die Objekte sind: innere und äußere Winkelhalbierende.

Ach so meinst du das - macht Sinn. Da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch. Danke.

@Moneybee: de.wikipedia.org/wiki/Außenwinkel

Gruß,

Küstenkind


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 15:20


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 15:11 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
2021-04-15 14:53 - Moneybee in Beitrag No. 12 schreibt:
Achso, CF ist die innere, da sie das Dreieck ABC teilt und CF‘ die äußere, weil sie nicht im Dreieck liegt?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Jetzt gilt es nur noch zu begründen, dass der Kreis durch \(C\), \(F\) und \(F'\) bereits der Umkreis ist.

In Beitrag #6 hat Kuestenkind doch die Wikipediaseite zum Südpolsatz verlinkt. Dort ist das alles recht gut erklärt. Hast du dir das schon angesehen?
\(\endgroup\)

Das kann ich jetzt mit dem Satz des Thales begründen?
Also da die Gerade g der Durchmesser von k ist, ist k der Thaleskreis zu CCF‘?

Den Artikel habe ich gelesen, aber Probleme ihn auf meinen Beweis anzuwenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-15 15:23


Bevor ich mich nun endgültig hier aus dem Thread verabschiede:

2021-04-15 15:11 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
Und innere und äußere Winkelhalbierende bilden zusammen stets einen rechten Winkel.

Ich bin mir immer noch nicht wirklich sicher, ob Moneybee dieses nun so klar ist. Da würde ich also nochmal vorsichtig nach einer Erklärung / Beweis fragen wollen.

Gruß,

Küstenkind



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-15 15:46

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

2021-04-15 15:20 - Moneybee in Beitrag No. 15 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 15:11 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
2021-04-15 14:53 - Moneybee in Beitrag No. 12 schreibt:
Achso, CF ist die innere, da sie das Dreieck ABC teilt und CF‘ die äußere, weil sie nicht im Dreieck liegt?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Jetzt gilt es nur noch zu begründen, dass der Kreis durch \(C\), \(F\) und \(F'\) bereits der Umkreis ist.

In Beitrag #6 hat Kuestenkind doch die Wikipediaseite zum Südpolsatz verlinkt. Dort ist das alles recht gut erklärt. Hast du dir das schon angesehen?
\(\endgroup\)

Das kann ich jetzt mit dem Satz des Thales begründen?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Nein, da reicht der Satz des Thales nicht aus. Dazu benötigst du den Peripheriewinkelsatz (auch bekannt unter dem Namen Umfangswinkelsatz).

2021-04-15 15:20 - Moneybee in Beitrag No. 15 schreibt:
Den Artikel habe ich gelesen, aber Probleme ihn auf meinen Beweis anzuwenden
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Du musst da eins bedenken: in dem Wikipedia-Artikel ist der Beweis genau andersherum aufgezogen. Dort nimmt man (ich bleibe bei den Bezeichnungen aus deiner Frage hier) die Strecke FC und beweist, dass sie die Winkelhalbierende des Winkels \(\gamma\) ist. In deinem Fall ist es genau andersherum: du musst jetzt begründen, warum der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Mittelsenkrechten auf dem Umkreis liegen.

Im Prinzip musst du also die Argumentation zu Punkt 1. aus dem Wiki-Artikel umkehren.

In welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe denn bekommen? Es ist immer gut, wenn wir die Vorkenntnisse der Fragenden einigermaßen einschätzen können.

Ist dir bspw. jetzt wirklich klar, warum der Winkel \(\angle FCF'\) ein rechter Winkel ist?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 15:55


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 15:46 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
In welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe denn bekommen? Es ist immer gut, wenn wir die Vorkenntnisse der Fragenden einigermaßen einschätzen können.

Ist dir bspw. jetzt wirklich klar, warum der Winkel \(\angle FCF'\) ein rechter Winkel ist?

\(\endgroup\)


„Als erstes werten Sie die Literaturquelle mit dem Ziel aus, jeden Schritt komplett zu verstehen. Dies bedeutet insbesondere, dass Sie die Voraussetzungen und Aussagen des Satzes erfasst haben und alle Umformungen und Beweisschritte nachvollziehen können. Im nächsten Schritt überlegen Sie sich, wie Sie das Thema innerhalb von 10 Minuten Ihren Kommilitonen vorstellen können. Insbesondere sollten Sie Ihren Vortrag an Vorwissen und Notation aus der Linearen Algebra- bzw. Geometrie-Vorlesung anpassen.“

Das ist die Vorgabe von meiner Universität.



Und der Winkel CFF‘ ist ein rechter Winkel, weil innere Winkelhalbierende (CF) und äußere Winkelhalbierende (CF‘) zusammen einen rechten Winkel ergeben. Habe ich das richtig verstanden?




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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 17:18


2021-04-15 15:46 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Nein, da reicht der Satz des Thales nicht aus. Dazu benötigst du den Peripheriewinkelsatz (auch bekannt unter dem Namen Umfangswinkelsatz).
Habe mir den Umfangswinkelsatz mal angeguckt.
Wenn ich es Richtig verstanden habe, so gibt es die feste Strecke (Sehne) AB und den Punkt C, der beweglich ist. Jedoch ist der Winkel in C immer gleich groß.
Solange die Strecke/Sehne AB gleich lang bleibt, so bleibt auch der Umfangswinkel Bei C gleich.

Richtige Interpretation?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2021-04-15 18:11


2021-04-15 17:18 - Moneybee in Beitrag No. 19 schreibt:
Solange die Strecke/Sehne AB gleich lang bleibt, so bleibt auch der Umfangswinkel Bei C gleich.

Richtige Interpretation?

Das ist zwar die Bedeutung des Umfangswinkelsatzes richtig wiedergegeben, aber nicht auf die Aufgabe bezogen.

Könnten wir einmal eine Sache klären, bevor es hier weitergeht. Von wem stammt der Text aus dem Themenstart:

2021-04-14 22:59 - Moneybee im Themenstart schreibt:
Beweis:

Jetzt seien F und F′ die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von AB mit der inneren und äußeren Winkelhalbierenden F′ von ∡ACB ≡ γ. Dann muß der Umkreismittelpunkt von △ABC auf der Geraden g(F, F’) liegen und irgendeine Strecke auf g gleich dem Durchmesser des Umkreises sein.

Nun ist  ∡FCF‘ = 90◦ ;somit geht der Thales-Kreis k über FF′ durch Eckpunkt C.

Gleichzeitig geht k durch A (und wegen der Symmetrie auch durch B) und AB ist somit gerade der Umkreis. Mithin liegen die Schnittpunkte F und F′ auf dem Umkreis.

Vorgabe, oder ist das von dir?


Gruß, Diophant




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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 18:20


2021-04-15 18:11 - Diophant in Beitrag No. 20 schreibt:

Vorgabe, oder ist das von dir?


Den Beweis habe ich von der Uni bekommen, also nicht selbst geschrieben. Soll ihn aber beweisen und meinen Kommilitonen  erklären. Dafür muss ich ihn aber selbst erstmal verstehen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2021-04-15 18:40


2021-04-15 18:20 - Moneybee in Beitrag No. 21 schreibt:
Den Beweis habe ich von der Uni bekommen, also nicht selbst geschrieben. Soll ihn aber beweisen und meinen Kommilitonen  erklären. Dafür muss ich ihn aber selbst erstmal verstehen

Und bist du dir sicher, dass du ihn richtig und vollständig wiedergegeben hast?

Ich zitiere einmal einen Ausschnitt:

2021-04-14 22:59 - Moneybee im Themenstart schreibt:
...und AB ist somit gerade der Umkreis...

Wie jetzt: eine Strecke soll ein Umkreis sein?

Und dann steht da immerhin 'Beweis' darüber, dann wird aber einfach behauptet:

2021-04-14 22:59 - Moneybee im Themenstart schreibt:
...Gleichzeitig geht k durch A...

Und das ohne jede Begründung. Das ist nämlich der Dreh- und Angelpunkt des Beweises hier, und von daher verstehe ich nicht, wie so etwas 'Beweis' heißen kann und dann die entscheidende Stelle einfach unkommentiert behauptet wird. Das wäre ja dann eben eine Behauptung, und gerade kein Beweis.

Also verzeih bitte: aber bevor ich mir da den Kopf darüber zerbreche möchte ich das verstehen.

Und vor allem, warum es nicht einfach der Standard-Beweis tut, wie er auf Wikipedia zu finden ist.


Gruß, Diophant



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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 18:47


2021-04-15 18:40 - Diophant in Beitrag No. 22 schreibt:
2021-04-15 18:20 - Moneybee in Beitrag No. 21 schreibt:
Den Beweis habe ich von der Uni bekommen, also nicht selbst geschrieben. Soll ihn aber beweisen und meinen Kommilitonen  erklären. Dafür muss ich ihn aber selbst erstmal verstehen

Und bist du dir sicher, dass du ihn richtig und vollständig wiedergegeben hast?

Ich zitiere einmal einen Ausschnitt:

2021-04-14 22:59 - Moneybee im Themenstart schreibt:
...und AB ist somit gerade der Umkreis...

Wie jetzt: eine Strecke soll ein Umkreis sein?

Und dann steht da immerhin 'Beweis' darüber, dann wird aber einfach behauptet:

2021-04-14 22:59 - Moneybee im Themenstart schreibt:
...Gleichzeitig geht k durch A...

Und das ohne jede Begründung. Das ist nämlich der Dreh- und Angelpunkt des Beweises hier, und von daher verstehe ich nicht, wie so etwas 'Beweis' heißen kann und dann die entscheidende Stelle einfach unkommentiert behauptet wird. Das wäre ja dann eben eine Behauptung, und gerade kein Beweis.

Also verzeih bitte: aber bevor ich mir da den Kopf darüber zerbreche möchte ich das verstehen.

Und vor allem, warum es nicht einfach der Standard-Beweis tut, wie er auf Wikipedia zu finden ist.


Das ist der Beweis, habe aber gerade gesehen, dass das „ und AB ist somit gerade der Umkreis“ heißt „und ist somit gerade der Umkreis.“






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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 18:49


Und das die Aufgabe:




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2021-04-15 19:55


Hallo Moneybee,

ich bleibe dabei: die Einleitung 'Beweis' dieses Abschnitts D3 ist ein (schlechter) Witz (eben wegen der lakonischen Bemerkung, dass A auf k liegt).

Das Problem hat vor vielen Jahren schon einmal eine Reihe MPler beschäftigt. Und eins kann ich dir sagen: das sind alles keine Anfänger, sondern im Gegenteil lauter 'Vollprofis'. Das geht beim Fragesteller in dem Thread los, den ich dir gleich verlinken werde und gilt für die anderen dort Beteiligten ganz genauso.

Du kannst an der Diskusson auch sehen, wie damals um eine Lösung gerungen wurde. Für dich interessant dürften vor allem die Beiträge #22 und #25 von viertel sein. Im ersten wird der Sachverhalt ausführlich erklärt, in #25 gibt es dann noch eine überraschend einfache Erklärung.

Hier also wie angekündigt der Link zum Thread.

Jetzt versuche einmal, ob du das nachvollziehen kannst und melde dich gerne wieder.

Wie gesagt: das Ding hier ist fies, eben weil die Beweisreihenfolge im Vergleich zum üblichen Beweis des Südpolsatzes umgekehrt ist.


Gruß, Diophant



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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 20:59


Hatte den Thread schon davor gelesen, aber nicht richtig verstanden. Aber durch deine vorherigen Tipps bin ich schon schlauer geworden.

Ich fasse jetzt einmal zusammen, was ich aus den Threads und deinen Tipps folgen konnte um den Beweis zu erklären.

1. CF ist die innere Winkelhalbierende
2. CF‘ ist die äußere Winkelhalbierende
3. Innere Winkelhalbierende und äußere ergeben einen rechten Winkel. In dem Fall liegt der bei C.
4. Die innere Winkelhalbierende schneidet den Umkreis in F
5. Die Strecke AF und BF sind gleich lang, da die zugehörigen Umfangswinkel ACF und FCB gleich sind
6. Da AF=FB ist, halbiert F den Bogen AB
7. Die Mittelsenkrechte (Gerade g) und innere Winkelhalbierende schneidet sich im selben Punkt F auf dem Umkreis
8. Die Dreiecke AFC und FCB haben den gleichen Unkreisradius (-> Umkehrung des Umfangwinkelsatzes)
9. Die beiden Kreise haben die Punkte C und F gemeinsam, das heißt die müssen gleich groß sein. Das können sie nur, wenn sie symmetrisch zu CF liegen oder identisch sind.
10. Die Mittelsenkrechte (Gerade g) ist ein Durchmesser von dem Kreis k, also geht g durch den Mittelpunkt des Kreises



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2021-04-15 21:05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

ich komme heute nicht mehr dazu, hier noch ausführlich darauf einzugehen (morgen sieht es wieder besser aus).

Aber du machst nach wie vor den gleichen Denkfehler, der dort in dem anderen Thread teilweise ja auch begangen wurde:

2021-04-15 20:59 - Moneybee in Beitrag No. 26 schreibt:
...
5. Die Strecke AF und BF sind gleich lang, da die zugehörigen Umfangswinkel ACF und FCB gleich sind
...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Alle Argumentationen, die so wie dein Punkt 5. schon davon ausgehen, dass \(A\in k\) ist, sind hier wertlos. Denn: das weiß man noch nicht und möchte es beweisen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Moneybee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15 22:04


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 21:05 - Diophant in Beitrag No. 27 schreibt:

Alle Argumentationen, die so wie dein Punkt 5. schon davon ausgehen, dass \(A\in k\) ist, sind hier wertlos. Denn: das weiß man noch nicht und möchte es beweisen.

\(\endgroup\)

Was wäre wenn wir einfach voraussetzen, dass \(A\in k\) ist?
Also ohne es zu beweisen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2021-04-15 22:18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

2021-04-15 22:04 - Moneybee in Beitrag No. 28 schreibt:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)2021-04-15 21:05 - Diophant in Beitrag No. 27 schreibt:
Alle Argumentationen, die so wie dein Punkt 5. schon davon ausgehen, dass \(A\in k\) ist, sind hier wertlos. Denn: das weiß man noch nicht und möchte es beweisen.
\(\endgroup\)

Was wäre wenn wir einfach voraussetzen, dass \(A\in k\) ist?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Das wäre dann ein klassischer Zirkelschluss. Du willst etwas beweisen und führst den zu beweisenden Sachverhalt als Argument an...

Schaue dir viertels Beitrag #22 aus dem verlinkten Thread noch einmal gründlich an. Dort ist bis auf einen Schritt sauber und nachvollziehbar argumentiert. Der Schritt von 5) auf 6), also:

2003-07-27 00:21 - viertel in Beitrag No. 22 schreibt:
Bild
Ich zähl noch mal auf, was wir aus der Konstruktion ableiten können:

...
5) Da gleich groß, können diese beiden Kreise nur symmetrisch zu CF liegen; oder eben identisch sein.
6) M ist also wirklich der gemeinsame Umkreismittelpunkt der beiden Dreiecke.
...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

ist nicht verbal begründet. Diese Lücke schließen die rosa und gestrichelt eingezeichneten Mittelsenkrechten der Strecken AF, BF und CF, die sich aus Symmetriegründen eben auf der Geraden durch F und F' bzw. der Mittelsenkrechten der Strecke AB schneiden müssen und so den gemeinsamen Umkreismittelpunkt der beiden Dreiecke ACF und und CFB darstellen. Womit gezeigt ist, dass alle drei Punkte (also A, B und C) auf dem besagten Kreis liegen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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2021-04-15 22:18 - Diophant in Beitrag No. 29 schreibt: l

Das wäre dann ein klassischer Zirkelschluss. Du willst etwas beweisen und führst den zu beweisenden Sachverhalt als Argument an...

Schaue dir viertels Beitrag #22 aus dem verlinkten Thread noch einmal gründlich an. Dort ist bis auf einen Schritt sauber und nachvollziehbar argumentiert. Der Schritt von 5) auf 6), also:

2003-07-27 00:21 - viertel in Beitrag No. 22 schreibt:
Bild
Ich zähl noch mal auf, was wir aus der Konstruktion ableiten können:

...
5) Da gleich groß, können diese beiden Kreise nur symmetrisch zu CF liegen; oder eben identisch sein.
6) M ist also wirklich der gemeinsame Umkreismittelpunkt der beiden Dreiecke.
...

ist nicht verbal begründet. Diese Lücke schließen die rosa und gestrichelt eingezeichneten Mittelsenkrechten der Strecken AF, BF und CF, die sich aus Symmetriegründen eben auf der Geraden durch F und F' bzw. der Mittelsenkrechten der Strecke AB schneiden müssen und so den gemeinsamen Umkreismittelpunkt der beiden Dreiecke ACF und und CFB darstellen. Womit gezeigt ist, dass alle drei Punkte (also A, B und C) auf dem besagten Kreis liegen.


Ich werde dann denke ich einfach das so beweisen, mit den Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden der anderen Strecken und Punkte. Was anderes fällt mir nicht ein und das oben verstehe ich zumindest.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2021-04-16 10:19


Hallo nochmal,

ich kann den Sinn der Aufgabenstellung, die du da bekommen hast, nach wie vor nicht so ganz einordnen. Vermutlich ging es aber ja genau darum: die offensichtliche Lücke in dem 'Beweis' durch Recherchen zu schließen.

Beachte einfach folgendes: in dem verlinkten Thread kommt in der Figur von viertel zunächst (mit voller Absicht) überhaupt kein Kreis vor.

Nun wird zuerst gezeigt, dass die Umkreise der Dreiecke ACF und CFB den gleichen Radius haben müssen.

Im nächsten Schritt (eben der von 5 nach 6) wird gezeigt, dass beide den gleichen Umkreis haben. Und das kann ja dann aber nur dein Thaleskreis aus dem Themenstart sein, womit gezeigt ist: A und B liegen auf diesem Thaleskreis und damit ist der Südpolsatz (wonach sich im Dreieck eine Mittelsenkrechte mit der gegenüberliegenden Winkelhalbierenden stets auf dem Umkreis schneidet) bewiesen.

Das ist ja dann letztendlich, wenn man einmal alles zusammenfasst, auch gar nicht so schwer nachvollziehbar. Man muss aber zuerst einmal darauf kommen...

Sind damit die Fragen hier für dich soweit geklärt?


Gruß, Diophant



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