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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » Zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist wegzusammenhängend
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Universität/Hochschule J Zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist wegzusammenhängend
niki3k
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16 18:50


Guten Tag,

ich stecke momentan bei einer Aufgabe fest. Sie lautet wie folgt:
"Sei \(M\) eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit. Dann ist \(M\) wegzusammenhängend."

Mein Ansatz ist, einen beliebigen Punkt \(p \in M\) zu nehmen und dessen Wegzusammenhangskomponente \(C_p\) zu betrachten. Nun möchte ich zeigen, dass \(C_p\) offen und abgeschlossen in \(M\) ist (weil daraus \(M = C_p\) folgt, wegen Zusammenhang).
Meine Idee war es, für jeden Punkt \(x \in C_p\) eine Karte \((U_x, \varphi_x)\) zu finden und zu zeigen, dass \(U_x \subset C_p\) gilt. Schaffe ich es, zu zeigen, dass \(\varphi_x(U_x) \subset \mathbb R^n\) wegzusammenhängend ist, sollte das kein Problem sein, aber genau da stecke ich fest. Wie kann man dort ansetzen? Ein Denkanstoß würde eventuell schon reichen.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 19:11


Tipp: Jede offene Kugel in $\IR^n$ ist wegzusammenhängend. Du kannst die Karten so einrichten, dass sie auf offene Kugeln abbilden.



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niki3k
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 08:56


Danke für den Tipp, er hat mir sehr geholfen. Ich würde es jetzt so machen: Für genügend kleines \(r > 0\) ist \(B := B_r(\varphi_x(x))\) in \(\varphi_x(U_x)\) enthalten und außerdem wegzusammenhängend. Letztere Eigenschaft bleibt nach Anwendung des Homöomorphismus' \(\varphi_x^{-1}\) erhalten, wodurch \(\varphi_x^{-1}(B)\) eine wegzusammenhängende offene Umgebung von \(x\) ist, und deshalb in \(C_p\) enthalten ist.



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niki3k hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
niki3k hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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