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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilungsfunktion von X + Y ?
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Universität/Hochschule Verteilungsfunktion von X + Y ?
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-19 10:29


Hallo allerseits,
Habe das folgende Problem:
Seien X und Y beliebige (also auch evtl. nicht unabhängige) Zufallsvariablen.

Frage:
wie lautet die Verteilungsfunktion von X+Y, also
P(X+Y<=a) = ?

Bis jetzt bin nur so weit gekommen, daß man stattdessen auch das zufallsvariable-Paar (X,Y) betrachten  kann, dann gilt:
P(X+Y<=a) = P((X,Y) Element M)
Wobei M = {w | X(w) + Y(w) <=a} eine Teilmenge von R x R ist.
Wer weiß hier weiter ?

mfg
cx



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 10:36


Moin, google mal convolution random variables.

vg Luis



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-19 10:43


2021-04-19 10:36 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, google mal convolution random variables.

Das bringt einen für die hier betrachteten nicht unabhängigen Variablen aber nicht weiter.



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 10:59


2021-04-19 10:43 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
2021-04-19 10:36 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, google mal convolution random variables.

Das bringt einem für die hier betrachteten nicht unabhängigen Variablen aber nicht weiter.

Moin zippy,

ich gebe dir Recht, vielfach wird in den Google-Links Unabhaengigkeit unterstellt. Deswegen verweise ich noch auf diese Quelle, Satz 7, Seite 185.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-19 11:20


2021-04-19 10:59 - luis52 in Beitrag No. 3 schreibt:
Deswegen verweise ich noch auf diese Quelle, Satz 7, Seite 185.

Was dort gemacht wird, ist allerdings keine Faltung, sondern die bereits im Themenstart angesprochene Integration über $M$.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 12:33



Deswegen verweise ich noch auf diese Quelle, Satz 7, Seite 185.

Ich kann die Quelle leider nicht öffnen.

mfg
cx



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-19 13:23


Hallo carlox,

hier noch ein funktionierender Link zur angesprochenen Quelle.


Gruß, Diophant



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 17:12


2021-04-19 13:23 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo carlox,

hier noch ein funktionierender Link zur angesprochenen Quelle.

Gruß, Diophant
Danke für den Link.
S. 178 (Summe von Zufallsvariablen) beantwortet die Frage
leider auch nicht.

Man kann das Problem auch noch verallgemeinern:
f(X,Y)= X+Y
Wie lautet die Verteilungsfunktion von der ZV f(X,y)
wobei f eine beliebige Funktion von 2 Zufallsvariablen ist,
also nicht wie hier der Spezialfall:
f(X,V)=X+Y
z.B. wäre auch möglich:
f(X,Y) = sin(X) * cos(Y) + sqrt(X² + y²)

mfg
cx











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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 17:19



ich gebe dir Recht, vielfach wird in den Google-Links Unabhaengigkeit unterstellt. Deswegen verweise ich noch auf diese Quelle, Satz 7, Seite 185.
Hier auch eine Quelle:
groolfs.de/Verschiedenespdf/Faltung.pdf

Mir ist aber nicht klar, wie der Autor darin gleich auf der 1. Seite
auf F(z) kommt?
Gilt das auch nur, wenn X und Y unabhängig voneinander sind ?

mfg
cx



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-20 09:03


2021-04-19 17:19 - carlox in Beitrag No. 8 schreibt:
 
Hier auch eine Quelle:
groolfs.de/Verschiedenespdf/Faltung.pdf

Mir ist aber nicht klar, wie der Autor darin gleich auf der 1. Seite auf F(z) kommt? Gilt das auch nur, wenn X und Y unabhängig voneinander sind ?
 

Mit dem Satz Die Funktionsterme sind einfach zu ermitteln. weist er vermutlich darauf hin, dass er den Faltungssatz anwendet. Das ist hier in der Tat nicht schwer, da $X$ und $Y$ unabhaengig und stetig gleichverteilt sind in $[0,1]$. Wie gesagt, der FS kann aber auch angewendet werden, wenn $X$ und $Y$ nicht unabhaengig sind.  

Fuer den Fall  $f(X,Y) = \sin(X)\cos(Y) + \sqrt{X^2 + Y^2}$ kann man den Transformationssatz fuer Dichten oder an Simulationen denken.

vg Luis



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 09:50



Mit dem Satz Die Funktionsterme sind einfach zu ermitteln. weist er vermutlich darauf hin, dass er den Faltungssatz anwendet. Das ist hier in der Tat nicht schwer, da $X$ und $Y$ unabhaengig und stetig gleichverteilt sind in $[0,1]$. Wie gesagt, der FS kann aber auch angewendet werden, wenn $X$ und $Y$ nicht unabhaengig sind.  

Fuer den Fall  $f(X,Y) = \sin(X)\cos(Y) + \sqrt{X^2 + Y^2}$ kann man den Transformationssatz fuer Dichten oder an Simulationen denken.


Hallo Luis,
Vielen Dank für die Infos,
kannst du mir eine gute (verständliche) Quelle (im Internet) für den Faltungssatz angeben?
Besonders der Fall, wenn X und Y nicht unabhängig sind.
Ich habe in meinem Skript
www.mathematik.uni-kl.de/~boehm/lehre/20_MfI/mfi_kss.pdf
nichts über einen Faltungssatz gefunden.

mfg
cx





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luis52
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2021-04-20 09:50 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:

Hallo Luis,

kannst du mir eine gute (verständliche) Quelle (im Internet) für den Faltungssatz angeben?
Besonders der Fall, wenn X und Y nicht unabhängig sind.

Das bereits zitierte Buch halte ich fuer didaktisch vorzueglich.

In dem Link hier wird auch der Fall abhaengiger Variablen behandelt (z.B. Example 2).

vg Luis



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