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Strukturen und Algebra » Gruppen » Halbgruppenhomomorphismus kein Monoidhomomorphismus
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Universität/Hochschule Halbgruppenhomomorphismus kein Monoidhomomorphismus
kokosnusskopf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 03:06


Ich habe den Verdacht, dass ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen zwei Monoiden nicht immer auch ein Monoidhomomorphismus sein muss. Mir fällt jedoch kein Gegenbeispiel ein, kann mir jemand eins liefern?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 03:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nimm $M = \{0,1\}$ mit logischem Und als Verknüpfung (1 ist dann das neutrale Element). $h \colon M \to M$ mit $h(x) := 0$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus, aber $h(1) = 0 \ne 1$.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-20 08:26


Hier noch eine ganze Klasse von Beispielen: Sei $M$ ein Monoid mit einem idempotenten Element $e \in M$. Dann ist $eMe$ ein Monoid mit der Multiplikation von $M$ und dem neutralem Element $e$. Die Inklusion $eMe \to M$ ist also multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (sofern $e \neq 1$).

Und tactacs Beispiel lässt sich so verallgemeinern: Seien $M,N$ Monoide, und $0 \in N$ sei ein absorbierendes Element. Dann ist $M \to N$, $m \mapsto 0$ multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (außer wenn $N= \{0\}$).



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kokosnusskopf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-22 18:30


Danke für die Antworten, auch wenn ich die von Triceratops nicht ganz verstanden habe. Idempotent heißt hier, es gilt \(e = e^2\), richtig?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-22 18:53


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