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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Zusammenhang orthogonale Matrix und Skalarprodukt
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Universität/Hochschule Zusammenhang orthogonale Matrix und Skalarprodukt
levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20


Ich würde gerne folgende Äquivalenz zeigen:
\(S\) sei die Einheitssphäre auf \(\mathbb{R}^{n}\) bezüglich einer Norm \(\|.\|\).
Die Norm \(\|.\|\) wird durch ein Skalarprodukt induziert \(\Leftrightarrow \) es existieren \(a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}_{> 0}\) und eine orthogonale Matrix R mit \(S=\left\{Rx\in\mathbb{R}^{n};\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}=1,x\in\mathbb{R}^{n}\right\}\).

Meine erste Idee war es \(R\) so zu wählen, dass die Spalten jeweils die Vektoren aus der ONB sind, die ja existiert laut Gram Schmidt. Dann konnte ich aber nicht zeigen, dass \(Rx\) in \(S\) liegt.
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?



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levin_chich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.01.2021
Mitteilungen: 41
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24


Hallo,
ich wäre nach wie vor an einem Tipp interessiert. :)

Levin.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 507
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-24


Hallo Levin,

wenn Du ein Skalarprodukt auf dem \(\mathbb{R}^n\) gegeben hast, gibt es eine SPD Matrix \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) mit \(\langle y,z\rangle=y^T Az\) für alle \(y,z\in\mathbb{R}^n\), also insbesondere \(\|y\|^2=y^TAy\). Zu \(A\) findest Du ein orthogonales \(R\in\mathbb{R}^{n\times n}\) und eine Diagonalmatrix \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^{n\times n}\) mit \(R^TAR=D\). Es gilt \(\lambda_i>0\), da \(A\) SPD ist. Setzt Du nun \(a_i:=\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}\), so solltest Du damit denke ich "\(\Rightarrow\)" zeigen können.

Für "\(\Leftarrow\)" kannst Du das wohl umdrehen, d.h. Du definierst \(\lambda_i:=\frac{1}{a_i^2}\), setzt \(D:=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), \(A:=RDR^T\) und dann \(\langle y,z\rangle:=y^TAz\).



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