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Universität/Hochschule J L_1 Norm Funktionen | Normeigenschaften
tobias150801
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20


Guten Tag,

Ich habe hier eine etwas simple Frage und denke das Ganze vielleicht etwas zu überkompliziert.

Wenn ich die Norm
\[
\left\lVert f \right\rVert_1:=\int_{b}^{a}|f(x)|dx
\] betrachte, wie zeige ich, dass
\[
\left\lVert f \right\rVert_1=0 \ \ \Rightarrow \ \ f=0
\] und wieso gilt das nur für Funktionen
\[
f\in C([a,b])
\] ?

Vielen Dank und Liebe Grüße



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

sei $f\in C([a,b])$ und $\|f\|_1=0$. Angenommen es existiert ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)\not=0$. Was kannst du dann über die Werte von $f$ in einer hinreichend kleinen Umgebung von $x$ aussagen?
\(\endgroup\)


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tobias150801
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20


Hallo Nuramon,

Da die Funktion stetig ist würde ich sagen, dass die Werte in der Umgebung von f(x) ebenfalls ungleich 0 sein müssten. (Sonst hätte man ja eine Sprungstelle und f wäre nicht stetig.). Wäre es jetzt richtig zu sagen, dass dann das Integral über die Umgebung ebenfalls ungleich 0 sein müsste, was ein Widerspruch zu \[\left\lVert f \right\rVert_1 =0\] wäre?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Die Idee ist richtig. Du solltest es aber noch genauer ausführen (z.B. mit der $\varepsilon$-$\delta$-Definition von Stetigkeit).
\(\endgroup\)


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tobias150801
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20


Ok, dann Vielen Dank.



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