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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen
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Universität/Hochschule Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 16:56

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Diese Aufgabe, auf die hier Bezug genommen wird, habe ich schonmal hier gepostet, auf jeden Fall ist Matrix S folgende:
\[S=\bpm \frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\epm\] Ich würde gerne die Eigenwerte mittels charakteristischem Polynom finden.
Das charakteristische Polynom schaut bei mir wie folgt aus:
\[\(\frac{2}{3}-\lambda\) \cdot \( -\frac{1}{3} - \lambda \) \( \frac{2}{3}
- \lambda \) - \( \frac{2}{3} -\lambda \) - \frac{8}{27} = 0\]
Nun ist es also wieder eine Sache des Faktorisierens vermute ich mal, Problem jedoch ist, dass ich da echt keine Ahnung habe wie ich vorgehen soll.
Ich kann es zum Beispiel so schreiben:
\[\( \frac{2}{3} -\lambda\) \cdot \( \lambda^2 -\frac{\lambda}{3} - \frac{11}{9}\) -\frac{8}{27} = 0\]
Nur da springt mir dann auch nichts ins Auge...
Habt ihr da eine Idee?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 17:01


Hallo, alle Vektoren, die in der Ebene liegen, werden auf sich selbst abgebildet. Somit ist $\epsilon$ ein Eigenraum zum Eigenwert 1.
Alle Vektoren, die orthogonal auf die Ebene stehen, werden auf ihr ... abgebildet. Entsprechend sind sie Eigenvektoren zum Eigenwert ...



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-20 17:01


Ich würde das Polynom mal komplett ausmultiplizieren und dann schauen ob man eine offensichtliche Nullstelle findet und Polynomdivision machen. So wie es da jetzt steht bringt es dir in der Tat nicht viel.

Wie im Beitrag vor mir erklärt ist es aber nicht unbedingt nötig die Eigenwerte zu berechnen.

LG Nico

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20 17:27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-20 16:56 - Spedex im Themenstart schreibt:
Das charakteristische Polynom schaut bei mir wie folgt aus:
\[\(\frac{2}{3}-\lambda\) \cdot \( -\frac{1}{3} - \lambda \) \( \frac{2}{3}
- \lambda \) - \( \frac{2}{3} -\lambda \) - \frac{8}{27} = 0\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Prinzipiell würde ich mich den beiden vorigen Tipps anschließen. Damit lassen sich die Fragen a) und b) unmittelbar beantworten.

Wenn du doch rechnen magst: rechne deine Determinante nochmal nach, die ist m.A. nach falsch (mit den -8/27 stimmt etwas nicht...).

Und dann hast du hier zum wiederholten mal ein Konzept blind angewendet, was dir aus einem anderen Zusammenhang in Erinnerung geblieben ist. Du hast dort aber den entscheidenden Hinweis überlesen und übersiehst daher, dass dieses Konzept hier so nicht anwendbar ist.

Das direkte Faktorisieren, wie du es hier versucht hast, hat in der anderen Aufgabe zum Ziel geführt, weil der betreffende Term gleich Null war.

Hier müsstest du ja erst die Konstante auf die rechte Seite bringen, somit hast du dort einen von Null veschiedenen Wert und der Satz vom Nullprodukt (auf dem das alles in der anderen Aufgabe aufgebaut hatte), ist hier nicht anwendbar.

Korrigiere also (für den Fall, dass du das hier ausrechnen möchtest) dein charakteristisches Polynom, multipliziere alles aus und fasse gleiche Potenzen zusammen. Erst dann kann man wieder faktorisieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 17:33


Ok, wenn ein Vektor in der Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert 1, wenn ein Vektor normal zur Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert -1. Aus der Polynomgleichung dritten Grades weiß ich ja, dass es maximal drei unterschiedliche Eigenwerte geben kann. Woher weiß ich denn nun, dass ich bereits alle Eigenwert gefunden habe, wenn ich die Polynomgleichung dritten Grades nicht lösen möchte? Bzw. habe ich bereits alle Eigenwert gefunden. Was ist mit Vektoren, welche irgendwie im "Raum" liegen, also nicht exakt normal zur Ebene oder in der Ebene, um welche gespiegelt wird, welchen Eigenwert hätte die?
Gibt es unendlich viele Eigenvektoren?

Liebe Grüße
Spedex

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-20 17:38


Hier musst du eigentlich nur mal geometrisch nachdenken was eine Spiegelung macht. Die Ebene ist $2$-dimensional und ein Eigenraum zum Eigenwert $1$. Der zur Ebene orthogonale Unterraum (das ist dann eine Gerade) ist Eigenraum zum Eigenwert $-1$ mit Dimension $1$. Da $\mathbb R^3$ die Dimension $3$ hat, und die Vielfachheiten der beiden Eigenwerte sich zu $3$ addieren, kann es keine weiteren Eigenwerte und damit auch keine anderen "schief liegenden" Eigenvektoren geben. Das sollte auch anschaulich sofort klar sein, da solche Vektoren nicht auf ihrem eigenen Spann bleiben bei einer Spiegelung.

Und natürlich gibt es unendlich viele Eigenvektoren. Wenn $v$ Eigenvektor ist, dann ist $\lambda v$ ebenfalls Eigenvektor für jedes $\lambda\neq 0$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-20 17:49


Hallo,

2021-04-20 17:33 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, wenn ein Vektor in der Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert 1, wenn ein Vektor normal zur Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert -1. Aus der Polynomgleichung dritten Grades weiß ich ja, dass es maximal drei unterschiedliche Eigenwerte geben kann. Woher weiß ich denn nun, dass ich bereits alle Eigenwert gefunden habe, wenn ich die Polynomgleichung dritten Grades nicht lösen möchte? Bzw. habe ich bereits alle Eigenwert gefunden. Was ist mit Vektoren, welche irgendwie im "Raum" liegen, also nicht exakt normal zur Ebene oder in der Ebene, um welche gespiegelt wird, welchen Eigenwert hätte die?
Gibt es unendlich viele Eigenvektoren?

Die Argumentation ist noch viel zu holprig.

Also: wir haben eine Spiegelung und kennen die Spiegelungsebene. Somit wissen wir: jeder Punkt in dieser Ebene ist Fixpunkt bzgl. der Spiegelung, wird also auf sich selbst abgebildet.

Es muss also einen Eigenwert 1 geben, und dieser besitzt ganz offensichtlich die geometrische Vielfachheit 2 (warum?)

Jeder Punkt, der nicht auf der Ebene liegt, wird an ihr gespiegelt. Eine Spiegelung geschieht ja stets orthogonal und der Abstand des Bildpunkts zur Ebene ist gleich wie der Abstand des Urbeilds zur Ebene. Der Punkt hat also nur die Seite gewechselt.

Um zu vestehen, dass somit jeder Normalenvektor der Ebene Eigenvektor zum EW -1 ist, muss man wissen, welche geometrische Bedeutung dem ganzen Eigenwertkonzept zukommt. Das kannst du zusammengefasst etwa auf Wikipedia nachlesen (gleich zu Beginn).

Ein Eigenvektor einer linearen Abbildung hat also die Eigenschaft, dass die Abbildung ihn auf ein Vielfaches seiner selbst abbildet. Dabei wird er aber skaliert. Und der Skalierungsfaktor, das ist eben gerade der zugehörende Eigenwert.

Besitzt ein Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren, dann spannen diese einen Unterraum des betrachteten Vektorraums auf, einen sog. Eigenraum.

Die Spielegelebene ist hier der zweidimensionale Eigenraum zum Eigenwert 1, und jeder Normalenvektor ist Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Für die Bearbeitung von Teil c) musst du also insbesondere noch zwei geeignete Vektoren auswählen, die in der Ebene verlaufen. Da könntest du einmal spaßeshalber in dem alten Thread nachsehen...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-20 17:53


2021-04-20 17:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Für die Bearbeitung von Teil c) musst du also insbesondere noch zwei geeignete Vektoren auswählen, die in der Ebene verlaufen. Da könntest du einmal spaßeshalber in dem alten Thread nachsehen...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Für c) ist es nicht unbedingt notwendig eine konkrete Basis aus Eigenvektoren zu wählen. Die Matrix ist ja bis auf Permutation der Basisvektoren immer die selbe, egal welche konkreten Eigenvektoren nun gewählt werden.

Edit: Aber es schadet sicherlich nicht, den Basiswechsel in eine Eigenbasis auch mal tatsächlich nachzurechnen😁



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 18:25


2021-04-20 17:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Es muss also einen Eigenwert 1 geben, und dieser besitzt ganz offensichtlich die geometrische Vielfachhait 2 (warum?)
Woher erkennst du das offensichtlich sofort? Ich habe das über die Matrix gemacht, sehe, dass dort zwei Nullzeilen vorkommen, also ist die geometrische Vielfachheit gleich 2. Die algebraische Vielfachheit muss auch 2 sein, da die Matrix diagonalisierbar ist.

Liebe Grüße
Spedex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-20 18:28


Hallo Spedex,

2021-04-20 18:25 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-04-20 17:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Es muss also einen Eigenwert 1 geben, und dieser besitzt ganz offensichtlich die geometrische Vielfachhait 2 (warum?)
Woher erkennst du das offensichtlich sofort?

Weil die Menge aller Fixpunkte, also die Spiegelebene, nunmal wie jede Ebene zweidimensional ist. Also durch zwei (Eigen-)Vektoren aufgespannt wird.


Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 18:37

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok. Gut.

Bezüglich c).
Hier wird von einer Basis der Eigenvektoren gesprochen. Wir haben ja festgestellt, dass es unendlich viele Eigenvektoren gibt.
Kann ich beispielsweise folgende Basis wählen?
\[B=\big{\{}  \bpm 1\\0\\-1 \epm, \bpm 0\\1\\2 \epm \bpm 1\\-2\\1 \epm \big{\}}\]
Wie gebe ich dann die Matrixdarstellung an?
Ich weiß ja, dass \(S\cdot B=B'\)
B' ist die Matrix der gespiegelten Vektoren.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-20 18:40

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-20 18:37 - Spedex in Beitrag No. 10 schreibt:
Bezüglich c).
Hier wird von einer Basis der Eigenvektoren gesprochen. Wir haben ja festgestellt, dass es unendlich viele Eigenvektoren gibt.
Kann ich beispielsweise folgende Basis wählen?
\[B=\big{\{}  \bpm 1\\0\\-1 \epm, \bpm 0\\1\\2 \epm \bpm 1\\-2\\1 \epm \big{\}}\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-20 18:37 - Spedex in Beitrag No. 10 schreibt:
Wie gebe ich dann die Matrixdarstellung an?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

2021-04-20 17:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Da könntest du einmal spaßeshalber in dem alten Thread nachsehen...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-20 18:40


Naja, sei $B$ eine Basis und $E$ eine Basis aus Eigenvektoren. Dann brauchst du zunächst mal die Matrix bezüglich der Basis $B$. Da kannst du ja einfach die gegebene Matrix bezüglich der kanonischen Basis wählen. Nun gilt
$$ \mathcal M_E^E(S)=\mathcal M_E^B(\operatorname{id})\mathcal M_B^B(S)\mathcal M_B^E(\operatorname{id}).
$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 18:58

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
2021-04-20 18:40 - nzimme10 in Beitrag No. 12 schreibt:
Naja, sei $B$ eine Basis und $E$ eine Basis aus Eigenvektoren. Dann brauchst du zunächst mal die Matrix bezüglich der Basis $B$. Da kannst du ja einfach die gegebene Matrix bezüglich der kanonischen Basis wählen. Nun gilt
$$ \mathcal M_E^E(S)=\mathcal M_E^B(\operatorname{id})\mathcal M_B^B(S)\mathcal M_B^E(\operatorname{id}).
$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)

Diese Symbole habe ich noch nie in meinem Leben gesehen, geschweige denn kenne ich ihre Bedeutung. :)

Im alten Thread steht ja \(S=T\cdot S'\cdot T^{-1}\). Ich kenne ja bereits \(S,T,S',T^{-1}\) bzw. hier würde ich es schreiben als \(S,B,S',B^{-1}\). Was genau such ich jetzt?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-20 18:59

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

du könntest in dem alten Thread einmal ein wenig über die Bedeutung der Matrix \(S'\) nachgrübeln...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-04-20 19:16


In meiner Notation bedeutet $\mathcal{M}_B^{B'}(\varphi)$ die darstellende Matrix der Abbildung $\varphi$ bezüglich der Basen $B'$ und $B$.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 21:55

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Nun, für die Aufgabe a) und für die Aufgabe b) muss man ja gar nicht wissen, wie genau die Matrix S ausschaut.
Sprich ich vermute bei c) muss man einfach die Matrix S berechnen, was wir ja schon getan haben, oder nicht?
Diese Formulierung:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-20 18:59 - Diophant in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo Spedex,

du könntest in dem alten Thread einmal ein wenig über die Bedeutung der Matrix \(S'\) nachgrübeln...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hört sich nämlich so an, als wäre das nicht der Fall.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-20 22:42

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

du solltest nicht immer alles wortwörtlich nehmen, sondern über den Sinn der Hinweise nachdenken: die Matrix \(S'\) aus dem anderen Thread ist die gesuchte Matrix (oder zumindest eine von drei möglichen Matrizen).

Zu deiner Basis aus #10 ist es aber schon die in c) gesuchte Matrix.

Siehst du ein, weshalb?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 22:52

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-20 22:42 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Hallo Spedex,

du solltest nicht immer alles wortwörtlich nehmen, sondern über den Sinn der Hinweise nachdenken: die Matrix \(S'\) aus dem anderen Thread ist die gesuchte Matrix (oder zumindest eine von drei möglichen Matrizen).

Siehst du ein, weshalb?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, also ich suche hier in c) nicht S sondern S'?
Sprich ich suche:
\[\bpm 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && -1 \epm\]
Wieso, wüsste ich nicht...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

in deiner (geordneten) Basis aus #10 liegen die beiden ersten Vektoren in der Ebene, werden also auf sich selbst abgebildet. Daher rühren die 1 links oben und die in der Mitte.

Der dritte Vektor ist Normalenvektor zur Ebene, wird bei der Spiegelung also umgekehrt. Das erklärt die -1 rechts unten in der Matrix.

Auch ein Tipp, den ich schon öfter gegeben habe: schreibe dir die Abbildung \(S'x=x'\) als ausgeschriebenes Gleichungssystem hin, dann kann man das besser nachvollziehen.

Ich verstehe an der Stelle auch nicht so ganz, warum du das alles nicht schon damals in dem alten Thread nachgefragt hast, wenn es doch offensichtlich völlig unklar war?

PS: und lies hier die Aufgabenstellung zu c) nochmal gründlich durch. Bezüglich was für einer Basis ist hier die Spiegelungsmatrix gesucht?...


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 23:39

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Also, wenn ich mir \(S'x=x'\) anschaue, so bleiben die ersten beiden Koordinaten gleich, die dritte wird negiert.
Es wird die Abbildungsmatrix in der Basis der Eigenvektoren gesucht. S ist allerdings die Abbildungsmatrix in der Einheitsbasis.
Sprich es gilt: \(S'=B^{-1}\cdot S\cdot B\).
Sehe ich das richtig?

Liebe Grüße
Spedex
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-04-20 23:46

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-20 23:39 - Spedex in Beitrag No. 20 schreibt:
Also, wenn ich mir \(S'x=x'\) anschaue, so bleiben die ersten beiden Koordinaten gleich, die dritte wird negiert.
Es wird die Abbildungsmatrix in der Basis der Eigenvektoren gesucht. S ist allerdings die Abbildungsmatrix in der Einheitsbasis.
Sprich es gilt: \(S'=B^{-1}\cdot S\cdot B\).
Sehe ich das richtig?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja. Aber was du immer noch nicht siehst: diese Rechnung braucht es hier nicht, sie ist auch nicht im Sinne der Aufgabe.

Dazu war die erste Aufgabe da, und im Nachhinein macht der Lösungshinweis dort jetzt auch noch mehr Sinn: dass man nämlich intuitiv bereits eine Basis aus Eigenvektoren wählt, um die Spiegelungs-Matrix aufzustellen.

Und mit der Rücktransformation \(S=T\cdot S'\cdot T^{-1}\) dann auch gleich noch alle rechnerischen Vorarbeiten erledigt hat...


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 23:59


Gut, vielen Dank.

Liebe Grüße
Spedex



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2021-04-21 07:43


Bist du dir eigentlich auch im Klaren darüber was dir so eine Matrix überhaupt sagen will?

Da gibt es ein schönes Zitat:
"There is hardly any theory which is more elementary [than linear algebra], in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices." - Dieudonne

Wenn wir uns nochmal kurz überlegen was wir gemacht haben:

Wir haben den $\mathbb R^3$ aufgeteilt in eine Ebene und eine Gerade. Ich schreibe $\operatorname{Eig}(S,1)$ für die Ebene und $\operatorname{Eig}(S,-1)$ für die Gerade. Wir haben dann also
$$ \mathbb R^3 = \operatorname{Eig}(S,1)\oplus \operatorname{Eig}(S,-1).
$$ Unsere Abbildung $S$ eingeschränkt auf die Ebene entsprach einfach der Identität, da alle Vektoren in der Ebene unverändert blieben. Die Abbildung eingeschränkt auf die Gerade entspricht der negativen Identität, da auf der Geraden alle Vektoren einfach in die entgegengesetzte Richtung gedreht/gespiegelt wurden. Und genau das können wir in der Matrix ablesen. Oben links haben wir einen $2\times 2$-Block mit der Einheitsmatrix, der für die Identität steht und unten Rechts einen $1\times 1$-Block, der für die negative Identität steht.



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