Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Aufhören mit mengentheoretischem Denken
Autor
Universität/Hochschule Aufhören mit mengentheoretischem Denken
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Themenstart: 2021-04-20

Hallo, wie es schon im Titel steht, habe ich oft ein Problem. Ich denke einfach zu mengentheoretisch. Das habe ich erneut hier erkannt: Sei $B$ eine Menge, dann gibt es einen $K$-Vektorraum mit Basis $B$. 1) Intuitiv: Man nimmt endliche formale Linearkombinationen mit Elementen aus $B$. 2) Konkreter, aber noch intuitiv: $V=K^{(B)}=\lbrace f:B\to K \mid f \, \mathrm{finite \, support}\rbrace $ ist ein Vektorraum mit Dimension $|B|$. Man wählt eine Basis $(v_b)_{b\in B}$ und schreibt kurz $b$ für $v_b$. 3) Mengentheoretisch konkret: Da $B$ eine Basis sein soll müssen wir die Elemente künstlich reinpacken. Man nimmt $V$ wie oben, entfernt die $v_b$ und nennt die so entstehende Menge $U$. Jetzt kann es in ZFC sein, dass $U$ und $B$ nicht disjunkt sind. Man kann ein $U'$ konstruieren, was bijektiv zu $U$ ist und disjunkt zu $B$. Nun fügt man $B$ hinzu und nennt die neue Menge $V'$. Nun ist $V'$ bijektiv zu unserem alten $V$, wobei $b$ auf $v_b$ abgeschickt wird. Jetzt transpotiert man die Vektorraumstruktur von $V$ auf $V'$ und $B$ ist eine Basis. Fertig. Und ich sollte dieses ,,alles ist Menge" aus meinem Kopf löschen... Ich finde 2) eigentlich am besten. Mit welchem Fundament der Mathematik kann man das rigoros machen? Mit ZFC kommt man von 2) auf 3)... Ich möchte aufhören immer alles mit ZFC rechtfertigen zu müssen. Vielen Dank!


   Profil
cofeworit
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.04.2021
Mitteilungen: 8
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20

3) verfolgt nur das Ziel, dass $B\subseteq V$. Dieses Ziel lässt sich in einer "ordentlichen" Fundierung der Mathematik (strukturelle Mengenlehre oder Typentheorie) nicht einmal formulieren, weil man da für beliebige Mengen $A$ und $B$ nicht die Frage stellen darf, ob $A\subseteq B$. (Das darf man grob gesagt nur, wenn $A$ und $B$ als Teilmengen einer gemeinsamen Obermenge deklariert sind.) 2) klappt in jeder vernünftigen Fundierung.


   Profil
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20

Hey cofeworit, das klingt interessant. Kannst du mir auch folgendes sagen: Was meint man dann mit ,,existiert Vektorraum mit Basis $B$"? Hier wird schon Teilmenge gemeint oder? Und wie sieht es aus, wenn man 2) in einer anderen Fundierung rechtfertigen will (würde gerne sehen, wie du es aufschreiben würdest). Danke sehr!


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5777
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20

Mit Fundamenten der Mathematik hat das hier meiner Ansicht nach nichts zu tun. Auch musst du nicht mit mengentheoretischem Denken aufhören. Was aber hilft, ist parallel auch kategorientheoretisch zu denken. Sei $K$ ein Körper; oder irgendein Ring, wobei wir dann also von Moduln anstelle von Vektorräumen sprechen. Ich bezeichne mit $U(V)$ die Trägermenge eines $K$-Vektorraumes $V$ (oftmals mit $V$ "abgekürzt", siehe dazu auch https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1586). Eine Basis von $V$ ist eine Abbildung $i : B \to U(V)$ derart, dass es für jeden $K$-Vektorraum $W$ und jede Abbildung $f : B \to U(W)$ genau eine lineare Abbildung $\overline{f} : V \to W$ gibt mit $U(\overline{f}) \circ i = f$. Äquivalent dazu ist, dass $i$ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist; die üblichen Definitionen dieser Begriffe kann man problemlos von Teilmengen auf Abbildungen "verallgemeinern" (siehe auch meine Antwort in deinem vorigen Thread https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=253325), wobei die Abbildungen hier nicht einmal injektiv sein müssen. Für Erzeugendensysteme von Gruppen wird das im Artikel https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1604 auch explizit gemacht. Eigentlich ist das auch nichts Besonderes, wenn man bedenkt, dass Abbildungen nichts anderes als Familien sind und die Familien-Definitionen für Basis usw. bekannt sind. Für jede Menge $B$ gibt es nun einen Vektorraum $V$ mit einer Basis $i : B \to U(V)$. Zum Beispiel kann man die direkte Summe $V := \bigoplus_{b \in B} K$ mit der Basis $i : B \to U(V)$, $i(b)(c) :=\delta_{b,c}$ nehmen.


   Profil
cofeworit
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.04.2021
Mitteilungen: 8
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-21

\quoteon(2021-04-20 20:34 - Red_ in Beitrag No. 2) Was meint man dann mit ,,existiert Vektorraum mit Basis $B$"? Hier wird schon Teilmenge gemeint oder? \quoteoff Diese (etwas schwammige) Aussage kann man meiner Meinung nach getrost als "es gibt einen Vektorraum, der eine Basis besitzt, die zu $B$ gleichmächtig ist" interpretieren. In einer strukturellen Mengenlehre oder einer Typentheorie ließe sich wie gesagt gar nicht mal ausdrücken, dass $B$ die Basis eines Vektorraums $V$ ist, wenn $B$ (wie in diesem Fall) vorher als beliebige Menge deklariert wird und somit nicht direkt als "Teilmenge von $U(V)$". Das liegt daran, dass es in einer strukturellen Mengenlehre oder Typentheorie im Gegensatz zu einer materiellen Mengenlehre (wie ZFC) keine "globale $\in$-Relation" gibt. In einer materiellen Mengenlehre lässt sich für jedes Objekt $x$ und jede Menge $A$ die Frage stellen, ob denn $x\in A$. (Und verwendet man klassische Logik, so ist die Antwort auf diese Frage entweder "ja" oder "nein".) Basierend auf dieser globalen $\in$-Relation lässt sich dann eine globale $\subseteq$-Relation definieren: Für beliebige Mengen $A$ und $B$ ist $A\subseteq B$ eine Abkürzung für "für jedes Objekt $x$ gilt: falls $x\in A$, dann $x\in B$". Mit der lässt sich dann tatsächlich die Frage stellen, ob es für jede Menge $B$ einen Vektorraum $V$ mit Basis $B\subseteq U(V)$ gibt; und 3) liefert einen Beweis dieser Aussage, der sich beispielsweise in ZFC formalisieren ließe. Es ist nun aber so, dass sich mit einer globalen $\in$-Relation komische Fragen stellen lassen, deren Antworten für die Praxis irrelevant sind. Würdest du zum Beispiel sagen, dass $\mathbb Z_2\subseteq \mathbb Z$? Ich finde, dass diese Frage keinen Sinn ergibt. Zwar enthält $\mathbb Z_2$ zwei Elemente, $0$ und $1$, deren Bezeichner auch Elemente aus $\mathbb Z$ bezeichnen könnten, aber ich fände es etwas sinnlos, darüber zu diskutieren, ob die $0$ in $\mathbb Z_2$ denn mit der $0$ in $\mathbb Z$ übereinstimmt oder nicht. Denn das ist nicht so relevant für die Mathematik. Du hattest gefragt, wie man sich abgewöhnen kann, mengentheoretisch zu denken. Da man, um moderne Mathematik zu betreiben, eigentlich immer irgendeine Form von Mengenlehre braucht, interpretiere ich diese Frage mal als: Wie kann man aufhören, materiell-mengentheoretisch zu denken? Meine Antwort: Indem man sich keine Fragen stellt, welche die globale $\in$-Relation verwenden. 😛 Im Übrigen kann man in einer Typentheorie trotzdem über Elemente von Mengen und Teilmengen von Mengen reden. Aber da sind "$x\in A$" und "$B\subseteq A$" im Allgemeinen keine Aussagen, sondern Deklarationen (oder "judgements", zumindest ist das ein verwandter Begriff). Eine Deklaration ist etwas, was man festlegen darf und dann "stimmt", aber über das man sich nicht streiten darf, ob es denn stimmt, wenn man es nicht eben so festgelegt hat. Zum Beispiel darf ich sagen "sei $x\in\mathbb Z$" und dann ist $x$ eben eine ganze Zahl. Aber falls $x$ bereits deklariert ist (zum Beispiel als Element von $\mathbb Z_2$), dann darf man sich nicht darüber streiten, ob denn $x\in\mathbb Z$. Zum Beispiel wird in der Aussage $\forall n\in\mathbb Z.\, n+0 = n$ die Variable $n$ als ganze Zahl deklariert. Und die Aussage bedeutet "für jede ganze Zahl $n$ gilt $n+0 = n$". Im Kontrast dazu würde diese Aussage in einer materiellen Mengenlehre Folgendes bedeuten: Für jedes mathematische Objekt $n$ gilt, falls $n$ eine ganze Zahl ist, dann gilt $n+0=n$. Eben weil $\in$ in einer materiellen Mengenlehre eine globale Relation ist, anstatt eine Deklaration anzudeuten. \quoteon Und wie sieht es aus, wenn man 2) in einer anderen Fundierung rechtfertigen will (würde gerne sehen, wie du es aufschreiben würdest). \quoteoff Ich würde sagen, wenn man Typentheorie benutzt, müsste man da nichts mehr groß rechtfertigen. Man kann das, was du schreibst, exakt so in einer Typentheorie formalisieren. Typentheorie ist gerade so gemacht, dass man jede nicht-materielle Aussage (und auch jeden nicht-materiellen Beweis) aus der mathematischen Praxis auf natürliche Weise formalisieren kann (also ohne viel zu kodieren). Mit "nicht-materiell" meine ich, dass die globale $\in$-Relation nicht verwendet wird. Um das zu begründen, sollte ich vielleicht noch erklären, inwiefern man $\in$ und $\subseteq$ auch in der Typentheorie als Relationen benutzen darf (und nicht nur zu Deklarationszwecken). Man möchte ja zum Beispiel aussagen dürfen, dass $3\not\in 2\mathbb Z$ oder $\{1, 2\}\subseteq \{1, 2, 3, 4\}$. Wenn $A$ eine Menge ist, dann gibt es in der Typentheorie eine lokale $\in$-Relation zwischen Elementen von $A$ und Teilmengen von $A$. Weiß man per judgement, dass $x\in A$ und $B\subseteq A$, dann lässt sich die Aussage $x\in B$ formulieren. Und verwendet man klassische Logik, dann ist diese Aussage entweder wahr oder falsch. (Das Symbol $\in$ hat also zwei verschiedene Bedeutungen.) Damit lässt sich $3\not\in 2\mathbb Z$ formulieren (wenn man $2\mathbb Z$ vorher als die Teilmenge von $\mathbb Z$ definiert, die alle geraden Zahlen enthält). Sind $B$ und $B'$ per judgement Teilmengen von $A$, dann lässt sich $B\subseteq B'$ als Abkürzung für $\forall x\in A.\, (x\in B\Rightarrow x\in B')$ definieren. (Auch $\subseteq$ hat also zwei Bedeutungen.) Damit lässt sich $\{1, 2\}\subseteq \{1, 2, 3, 4\}$ formulieren. Bemerkung: Man kann übrigens (grob gesagt) beweisen, dass jede nicht-materielle Aussage, die einen materiellen Beweis hat, auch einen nicht-materiellen Beweis hat. Das ist ein Resultat von Mike Shulman. Meine Antwort auf die Frage, wie man sich abgewöhnen kann, materiell-mengentheoretisch zu denken, würde ich also nochmal dahingehend verfeinern wollen: Was Beweise betrifft, so muss man sich das nicht mal abgewöhnen! Hier noch ein paar Links: • structural set theory (nLab)material set theory (nLab)Is material set theory conservative over structural set theory? (MO)


   Profil
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2206
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-21

Zum Abgewöhnen könnte man sich vielleicht auch überlegen, dass 2, mit 3 als Topologie, zum Sierpiński-Raum homöomorph ist. 😄


   Profil
Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]