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Universität/Hochschule J Stetigkeit auf Menge aller beschränkten Funktionen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20


Guten Abend liebe Matheplanet-Community,

über folgende Aufgabe mache ich mir Gedanken:

Sei $\Phi: (\mathcal{B}(M), \|\cdot\|_{\infty} \to \IR, \; \Phi(f):= f(x_0)$, wobei M eine nicht-leere Menge, $x_0 \in M$ beliebig aber fest sowie $(\mathcal{B}(M), \|\cdot\|_{\infty}$ der Raum der beschränkten Funktionen auf $M$ ausgestattet mit der Supremumsnorm ist.

Diese Funktion ist auf Stetigkeit zu untersuchen.


Nun denn, ich habe immer noch keinen Ansatz, ob die Funktion $\Phi$ stetig ist oder nicht.
Es gilt jedenfalls für $f,g \in \mathcal{B}(M)$, dass $\|f - g\|_{\infty} = sup \|f(x) - g(x) \; | \; x \in M| < \infty$ und es ist
$|\Phi(f) - \Phi(g)| = |f(x_0) - g(x_0)| < \infty$.

Habt ihr mir einen Tipp, wie ich weitermachen soll?


Wie immer bin ich euch für jede Unterstützung sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20


2021-04-20 20:47 - X3nion im Themenstart schreibt:
Guten Abend liebe Matheplanet-Community,

über folgende Aufgabe mache ich mir Gedanken:

Sei $\Phi: (\mathcal{B}(M), \|\cdot\|_{\infty} \to \IR, \; \Phi(f):= f(x_0)$, wobei M eine nicht-leere Menge, $x_0 \in M$ beliebig aber fest sowie $(\mathcal{B}(M), \|\cdot\|_{\infty}$ der Raum der beschränkten Funktionen auf $M$ ausgestattet mit der Supremumsnorm ist.

Diese Funktion ist auf Stetigkeit zu untersuchen.


Nun denn, ich habe immer noch keinen Ansatz, ob die Funktion $\Phi$ stetig ist oder nicht.
Es gilt jedenfalls für $f,g \in \mathcal{B}(M)$, dass $\|f - g\|_{\infty} = sup \|f(x) - g(x) \; | \; x \in M| < \infty$ und es ist
$|\Phi(f) - \Phi(g)| = |f(x_0) - g(x_0)| < \infty$.

Habt ihr mir einen Tipp, wie ich weitermachen soll?

Offenbar gilt noch
\[
|\Phi(f) - \Phi(g)| = |f(x_0) - g(x_0)|\leq \|f - g\|_{\infty}
\]



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20


Hi ochen, vielen Dank dir für deinen Tipp!

In dem Falle ist also die Funktion $\Phi$ stetig in einem beliebigen $g \in \mathcal{B}(M)$.

Denn sei $x_0 \in M$ beliebig. Sei $\epsilon > 0$ vorgegeben. Setze $\delta:= \epsilon$. Sei nun $f$ in $\mathcal{B}(M)$ mit $\|f - g\|_{\infty} = sup \{f(x) - g(x) \; | \; x \in M\} < \delta$.
Es folgt $|\Phi(f) - \Phi(g)| = |f(x_0) - g(x_0)| \le sup \{f(x) - g(x) \; | \; x \in M\} < \delta = \epsilon$, was zeigt, dass $\Phi$ in $g$ stetig ist.
Da $g$ beliebig war, folgt die Stetigkeit auf ganz $\mathcal{B}(M)$.

Wäre das so in Ordnung?
Ich bin auch etwas unsicher ob der Platzierung des $x_0$, ist das so richtig?

Viele Grüße,
X3nion


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ochen
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2021-04-20 20:58 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:
Wäre das so in Ordnung?
Ich bin auch etwas unsicher ob der Platzierung des $x_0$, ist das so richtig?

Ja, das ist in Ordnung :) Das $x_0$ ist auch an der richtigen Stelle, würde ich sagen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21


Hey ochen,

vielen Dank dir, dass du nochmals drübergeschaut hast! :)

Viele Grüße,
X3nion


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