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Analysis » Funktionalanalysis » Äquivalenz von zwei Normen zeigen
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Universität/Hochschule Äquivalenz von zwei Normen zeigen
john22
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.04.2021
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-21


Hat jemand vielleicht einen Denkanstoß wie man A,B herausfinden kann, so dass die Äquivalenz folgender Normen gezeigt ist.
1.Norm: |||(x,y)||| = |x+y|+2|y-x|
2.Norm: Euklidische Norm

Also soll A,B gefunden werden so dass gilt:
A|||.|||<= ||.|| <= B|||.|||

Danke im Voraus:)



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Kiwi98
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.10.2019
Mitteilungen: 27
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21


Servus john, bei der oberen Grenze kann ich dir einen Denkanstoß geben.
betrachte beide normen mal im Quadrat (dann bekommst du bei der euklidischen Norm nämlich die Wurzel weg:
$||(x,y)||^2=x^2+y^2$ soll ja kleiner gleich $C \cdot (|x+y|+2|y-x|)^2   $ sein.

Vernachlässigen wir mal die 2 die dabei steht und betrachten noch:
$(|x+y|+|y-x|)^2=(|x+y|+|x-y|)^2$. wobei ich nur x-y und y-x getauscht habe dass es besser aussieht.

Jetzt ist es ja nicht schwer zu zeigen, dass
$(|x+y|+|x-y|)^2 \leq (|x+y|+2|y-x|)^2$.
Womit wir ja die vorgegebene Norm nach unten abgeschätzt haben.

Bekommst du es jetzt hin noch zu zeigen:
$||(x,y)||^2=x^2+y^2 \leq 1\cdot (|x+y|+|x-y|)^2$?
Das sollte mit 2 kleinen Fallunterscheidungen: x,y<0, x<0 und y>0 machbar sein.



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