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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Parameteridentifikation einer linearen gewöhnlichen Differenzialgleichung
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Universität/Hochschule Parameteridentifikation einer linearen gewöhnlichen Differenzialgleichung
schneitzmaster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-26


Hallo liebe Planetarier,

ich möchte gern die Koeffizienten einer Differenzialgleichung bestimmen. Die Differenzialgleichung hat die Form

\( \ddot{y}(t)+A\dot{y}(t)+By(t) = C\ddot{u}(t)+D\dot{u}(t)+Eu(t)\).

Aus experimentellen Messungen habe ich diskrete Werte für y_k und u_k zu diskreten Zeitpunkten t_k im Intervall \(t_k \in \{t_0 ... t_n\}\) die in den Vektoren \(\underline{y}\) und \(\underline{u}\) gespeichert sind.
Bisher habe ich die Koeffizienten A bis E durch Integration der DGL und anschließende Minimierung der Fehlerquadrate ermittelt. Bei der Integration fungieren die \(u_k(t_k)\) als gegebene Eingangsgrößen, so dass der Verlauf \(y^*_k(t_k)\) für die Fehlerquadratminimierung \(\text{min} \left[\underline{y}-\underline{y}^*\right]^2\) herangezogen wird.
Leider hängt die erhaltene Lösung stark von der Schrittweiten, dem Optimierungsverfahren und von den Anfangsbedingungen ab.

Um die Parameteridentifkation stabiler und effizienter zu gestalten habe ich nun die Idee die gesamte DGL per Integraltransformation in einen Bildraum zu überführen, so dass \(u(t) \rightarrow U(s)\) und \(y(t) \rightarrow Y(s)\) gilt.
Ist diese Transformation die Fourier oder Laplace-Transformation kann dann die Übergangsfunktion durch

\(
H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}
=\frac{s^2+As+B}{Cs^2+Ds+E}
\)

angeschrieben werden. Bei Kenntnis der Übergangsfunktion \(H(s)\), sollte das Auffinden der Koeffizienten leichter durchführbar sein, da die Nullstellen von \(H(s)\) durch das Zählerpolynom und die Pole durch das Nennerpolynom gegeben sind.
Jetzt kommt aber die Schwierigkeit bzw. mein Problem. Ich weiß nicht so recht wie ich aus den zeitlich diskreten Werten der Experimentaldaten diese Übergangsfunktion bestimmen kann. Ich habe schon versucht die Daten per diskreter Fourier-Transformation (DFT) in den Bildraum zu übertragen. Da kommt dann aber nicht viel sinnvolles heraus, da zum Einen die Messwerte nicht periodisch sind und ich zum Anderen auch nicht weiß wie ich mir das \(H(s)\) bestimmenn kann. Die DFT gibt mir ja zwei Vektoren \(\underline{Y}\) und \(\underline{U}\). Damit kann ich dann zwar quasi elementweise \(\frac{\underline{Y}}{\underline{U}}\) ermitteln, allerdings entspricht der erhaltene Verlauf in keinsterweise einer ganzrationalen Funktion im Sinne von \(H(s)\).
Die Laplace-Transformation kann man meines Wissens nicht direkt auf diskreten Werte ausführen, sondern muss hier die z-Transformation verwenden. Allerdings ist diese widerum nur für Differenzengleichungen definiert.
Ausdem Grund meine Frage: Ist meine Idee so überhaupt durchführbar oder habe ich einen wesentlichen Aspekt übersehen? Wie kann ich mir die Übertragungsfunktion aus den zeitlich diskreten Messwerten bestimmen?

Vielen Dank für eure Anregungen schon einmal im Voraus
Schneitzmaster








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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-26


Du könntest Deine Differentialgleichung in eine Differenzengleichung umwandeln. Das Zeitintervall dazu gibst Du Dir ja vor.

Dann kannst Du auf Deine Daten die z-Transformation loslassen.



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schneitzmaster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-26


Danke für den Hinweis. Ich kenne mich mit der z-Transformation noch nicht so recht aus. Bekommt man dann durch die z-Transformation am Ende auch eine ganzrationale Funktion ala H(s)?



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easymathematics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-26


Ja, Du erhälst ebenfalls eine ganzrationale Funktion H(z). :)

Die La-Place- und z-Trafo sind sich sehr ähnlich.

Du solltest Dich relativ leicht einarbeiten können, wenn Du mit der La-Place Trafo vertraut bist.

Guck mal auf wiki.

Der Link führt Dich zu einem Beispiel einer DGL 2. Ordnung (ähnlich Deinem Fall), die vom s-Bereich in den z-Bereich transformiert wird.  :)

de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation#Differenzengleichungen_h%C3%B6herer_Ordnung



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