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Analysis » Funktionalanalysis » Separabilität von l∞
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Universität/Hochschule Separabilität von l∞
niklasalkin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-28


Hallo!

Ich habe heute in der Vorlesung gelernt, dass \((\ell^\infty, \Vert \cdot \Vert_\infty)\), wobei \(\Vert (x_n)\Vert_\infty = \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n|\), nicht separabel ist. Zudem wurde gezeigt, dass ein normierter Vektorraum \((X,\Vert \cdot \Vert)\) genau dann separabel ist, wenn es eine abzählbare Menge \(A\subset X\) gibt, sodass \(\overline{\text{lin} A} =X\) ist.

Um nun zu zeigen, dass \((\ell^\infty, \Vert \cdot \Vert_\infty)\) nicht separabel ist, wollte ich diese Äquivalenz nutzen. Allerdings meine ich, dass für \(x^{(i)}=(x^{(i)}_n)_{n\in \mathbb{N}}\in\ell^\infty\) mit
    \[x^{(i)}_k = \begin{cases} 1,& k=i \\ 0, & k\neq i\end{cases}\] die Menge
    \[A = \{x^{(i)}\mid i \in \mathbb{N}\}\subset \ell^\infty\] abzählbar ist (da \(\mathbb{N}\) abzählbar ist) und sich jedes Element in \(\ell^\infty\) als Linearkombination der Elemente aus \(A\) darstellen lässt. Somit würde ja \(\text{lin}A=\ell^\infty\) gelten, was nach der obigen Aussage äquivalent zur Separabilität von \(\ell^\infty\) wäre.

Könnt ihr mir sagen, wo mein Denkfehler liegt?

LG niklasalkin



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-28


Hallo niklasalkin,

in Linearkombinationen kommen immer nur endlich viele Summanden vor. Es gilt also \(\operatorname{lin}A=\{(x_n)\,|\,\exists k\in\mathbb{N}: x_n=0\,\forall n\geq k\}\), d.h. \(\operatorname{lin}A\) enthält nur alle abbrechenden Folgen. Dieser Raum wird mit \(c_{00}\) bezeichnet.

Man kann sich überlegen, dass \(\overline{\operatorname{lin}A}=\{(x_n)\,|\,x_n\to0\}\) gilt, d.h. \(\overline{\operatorname{lin}A}\) enthält nur alle Nullfolgen. Dieser Raum wird mit \(c_{0}\) bezeichnet.

Du hast also die Separabilität von \(c_0\) begründet.

en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space#c,_c0_and_c00



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niklasalkin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Hallo sonnenschein96,

dass ich die Separabilität von \(c_0\) gezeigt hab ist ja auch nicht schlecht, immerhin etwas ;)

Danke für die Erklärung, die Endlichkeit der Linearkombinationen habe ich nicht bedacht. Vielen Dank!

LG
niklasalkin



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-28


Im Kontext von normierten Räumen gibt es auch unendliche Linearkombinationen, die als Limites von endlichen Linearkombinationen definiert sind. Allerdings gilt für eine Folge $a \in \ell^{\infty}$ eben nicht

$a = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot e_n$

(wobei die im Grad $n$ konzentrierte Folge $e_n$ du als $x^{(n)}$ bezeichnet hast), im Prinzip weil die Norm "falsch" ist. Für $a \in \ell^{1}$ gilt das hingegen (bezüglich der $1$-Norm).



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niklasalkin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Hey Triceratops,

ich bin mir leider nicht ganz sicher, was du mit "falscher" Norm meinst. Meinst du damit, dass \(\Vert\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot e_n\Vert_\infty = \infty\) ist, da \(a_n\cdot e_n\) nicht zwingend eine Nullfolge ist und die Summe somit divergiert?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-28


Ja. Aber ich meinte einfach, dass die $\infty$-Norm in dem Sinne falsch ist, dass nicht das herauskommt, was man erwartet.



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niklasalkin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Alles klar, Dankeschön!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-28


Triceratops hat natürlich Recht damit, dass es in diesem Sinne auch unendliche Linearkombinationen gibt. Ich meinte nur, dass die Linearkombinationen in der linearen Hülle aus endlich vielen Summanden bestehen.

Die von Dir angegebene Folge ist eine sogenannte Schauderbasis von \(l^p\) wenn \(1\leq p<\infty\). \(l^\infty\) hat als nicht-separabler Raum keine Schauderbasis.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ich würde die Reihe in Beitrag 3 nicht "Linearkombination" nennen, sondern eben "unendliche Summe" oder "Reihe". Und das Wort "Reihe" ist (in der Analysis) nur sinnvoll, wenn man auch über Konvergenz reden kann, also in Räumen mit Topologie.

Die Gründe für diese Haltung sind vorwiegend didaktischer Natur - Anfängern soll klar sein, dass eine Linearkombination IMMER eine endliche Summe ist.

Sonst ist vielleicht \( e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots\) eine Linearkombination der Monome.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-29


@Wally: Wikipedia sagt dazu (obwohl das natürlich nicht die endgültige Wahrheit sein muss :P):

"Linearkombinationen von unendlich vielen Elementen betrachtet man nur unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit nur endlich viele hiervon in der Summe verwendet werden. [...] Eine konvergente Reihe ist also im Allgemeinen keine Linearkombination ihrer Summanden."

Ich habe den Begriff "Linearkombination" bis jetzt auch immer nur für endliche Summen verwendet und ziehe dies auch vor. Die zugehörige Reihe ist eben einfach eine Folge von Linearkombinationen.


Es gibt aber offenbar Leute, die auch von "unendlichen Linearkombinationen" sprechen, z.B. steht in der Einleitung des Artikels zur Schauderbasis:

"In der Funktionalanalysis wird eine Folge \((b_{n})_{n\in \mathbb{N}}\) eines Banachraums als Schauderbasis bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als (unendliche) Linearkombination hat. Sie ist zu unterscheiden von der Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt."


Auf der englischen Wikipedia-Seite zu Linearkombinationen steht:

"If \(V\) is a topological vector space, then there may be a way to make sense of certain infinite linear combinations, using the topology of \(V\). [...] Such infinite linear combinations do not always make sense; we call them convergent when they do. Allowing more linear combinations in this case can also lead to a different concept of span, linear independence, and basis."

Dort wird auch von "unendlichen Linearkombinationen" gesprochen, dies sind aber natürlich nicht mehr die Linearkombinationen im Sinne der linearen Algebra.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-29


Jaja,

man sieht schon, dass Wipedia auch nicht widerspruchsfrei ist.

Ich versuche den Eintrag über Schauderbasen mal zu ändern (wobei ich mir über die geringen Erfolgsaussichte im klaren bin).

Viele Grüße

Wally



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-29


Linearkombinationen in Vektorräumen sind endlich, Linearkombinationen in topologischen Vektorräumen sind über beliebige Indexmengen (endlich oder nicht) erlaubt, wobei die Konvergenz zu prüfen ist. Es entsteht dadurch nur dann ein Missverständnis, wenn man den Vergissfunktor $U : \mathbf{TopVect} \to \mathbf{Vect}$ ignoriert (sprich, die umgebenden Strukturen durcheinanderwirft), was man nicht tun sollte. Den Begriff der Hamelbasis eines topologischen Vektorraumes $V$ braucht man übrigens nicht, es handelt sich einfach um eine Basis von $U(V)$. Das mit den unendlichen Linearkombinationen könnte man jetzt noch mit Hüllenoperatoren ausschmücken, aber das mache ich nur bei Bedarf. Seltsam, dass der Begriff "unendliche Summe" weniger kontrovers ist, obwohl hier strukturell genau dasselbe passiert, nur halt mit mit $\mathbf{TopAb} \to \mathbf{Ab}$.



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