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 Quadrat in zwei Rechtecke zerlegen und Verhältnis von Seiten bestimmen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-05-02
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Hallo, ein Quadrat mit Länge a wird in zwei Rechtecke zerlegt. Das Rechteck mit den Seiten a und c soll dabei in das größere Rechteck passen.
In welchen Verhältnis müssen c und a stehen (Blatt Mathekurs).
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54577_Quadrat_Rechtecke.png
Ich habe mit der Skizze einige Gleichungen aufgestellt, aber ich kann noch kein Verhältnis c/a bestimmen, da ich zu viele Variablen habe.
Wo habe ich was übersehen?
e^2+g^2=a^2
f^2+h^2=c^2
e+f=a-c
g+h=a
c/a=sqrt(f^2+h^2)/sqrt(e^2+g^2)= ???
Dann habe ich noch die Flächeninhalte
Quadrat: a^2
Rechteck: a*c
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-02
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Hallo epoche17,
die Dreiecke cfh und aeg haben einen Winkel, der gleichgroß ist, und sind außerdem beide rechtwinklig. Du kannst also so eine Art "Strahlensatz" anwenden (oder dem Winkel einen Namen geben und mit trig. Funktionen arbeiten).
Damit solltest du die Gleichung dazubekommen, die dir noch fehlt, um das Ganze auflösen zu können.
Grüße
Gerhard/Gonz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02
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Ja danke, ich muss also die Ähnlichkeit von Dreiecken ausnutzen?
Dann hätte ich f/h = g/e oder auch c/f = a/g.
Aber wie bekomme ich dann den Wurzelterm vereinfacht? Ich könnte zwar im Wurzelterm im Zähler f und im Nenner g ersetzen. Aber dann bleiben nicht nur die Variablen a und c übrig?
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gonz
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-02
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Setzen wir k=c/a, und mit der Zusatzgleichung, hast du dann sechs Gleichungen. Der Wert von a ist gegeben, es bleiben also die ebenfalls sechs Unbekannten c,e,f,g,h und k. Das passt doch schon einmal (vorausgesetzt, deine Gleichungen sind alle unabhängig voneinander).
Wenn du keine "Idee hast", fängst du also an, die Variablen der Reihe nach zu eliminieren...
Schreib doch einfach mal auf, wie weit du damit kommst. Dann gucken wir weiter :)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02
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Danke Gonz, ich habe nun folgenes gemacht:
(I) e^2+g^2=a^2
(II) f^2+h^2 = c^2
(III) e+f = a-c also e^2+2ef+f^2=a^2-2ac+c^2
(IV) g+h=a also g^2+2gh+h^2=a^2
(V) f/h = g/e also f*e = h*g
(IV) in (I):
e^2+g^2=g^2+2gh+h^2
e^2=2gh+h^2
Dies habe ich in (III) nun eingesetzt:
2gh+h^2+2ef+f^2=a^2-2ac+c^2
Hier setze ich nun (II) ein:
2gh+(c^2-f^2)+2ef+f^2=a^2-2ac+c^2
2gh+2ef=a^2-2ac
Nun setze ich (V) ein:
2ef+2ef=a^2-2ac
4ef=a^2-2ac
Ist das so korrekt und zielführend? Weiter komme ich nicht. Mit dem Wurzelausdruck in meinem ersten Beitrag habe ich nicht mehr weitergerechnet.
Wie kann ich e und f noch rausschmeißen?
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gonz
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-02
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Versuchen wir es "zielführender" hinzukriegen.
Also der Plan: du hast Gleichungen I - V in den Variablen a,c,e,f,g,h. Davon ist a als gegeben zu betrachten. Wir wollen letztlich einen Wert für c/a ermitteln. Dazu wollen wir zunächst das c als Funktion von a bestimmen, und das dann in den Term c/a einsetzen. Da nach der bildlichen Vorstellung c und a ja in einem proportionalen Verhältnis stehen (indem ich die Figur vergrößere oder verkleinere), sollte sich dann wenn wir alles richtig gemacht haben das a hinwegheben und ein konstanter Wert herauskommen.
Dazu müssen wir aus den fünf Gleichungen die Werte e,f,g,h eliminieren, die verbleibende eine Gleichung sollte uns dann c als Funktion von a ergeben.
Entsprechend passt das, was du machst, nicht zu dem Plan. Du musst ja nicht a eliminieren, sondern der Reihe nach e,f,g,h.
Dazu löst du zum Beispiel eine der Gleichungen nach e auf (am einfachsten III) und setzt das Ergebnis in die anderen ein: aus I wird Ia, aus V wird Va. In den anderen Gleichungen kommt e ja gar nicht vor. Damit hast du die Gleichchungen Ia, II, IV und Va "mit ohne e".
Genauso kannst du dann zB IV nach g auf lösen, und das Ergebnis einsetzen: aus Ia ergibt sich Ib und aus Va ergibt sich Vb. Damit hast du dann noch die Gleichungen Ib, II, Vb, in denen neben a und c nur noch die beiden Variablen f und h vorkommen.
Das schreibst du am besten hin, und dann gucken wir, wie es weitergeht!
(ich weiß übrigens auch nicht, ob wir auf diesem Weg "durchkommen", es wäre halt nur der Fahrplan nach dem von dir gewählten Ansatz, wenn wir keine "gute Idee" haben, wie es einfacher geht.)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02
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Ok
(III) nach e aufgelöst, e=a-c-f und
(IV) nach g aufgelöst, g = a-h ergibt die Gleichungen:
(Ib) (a-c-f)^2+g^2=a^2
a^2+c^2+f^2-2ac-2af+2cf+a^2-2ah+h^2=a^2
c^2+f^2-2ac-2af+2cf+a^2-2ah+h^2=0
(Vb) f/h = g/(a-c-f)
f(a-c-f) = gh
fa-fc-f^2= (a-h)*h
fa-fc-f^2= ah-h^2
Es kommen nun nur noch c, a, f unf h vor.
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gonz
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-02
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Hm, tatsächlich ein wenig (oder- zu?) wuselig.
Versuch mal folgendes:
Wir nennen den Winkel zwischen f und c mal alpha.
Dieser Winkel kommt in allen vier Dreiecken in der Figur vor.
Damit können wir e,f,g und h jeweils mit Hilfe von sin(alpha) oder cos(alpha) aus a bzw. c bestimmen.
Und dann die Gleichungen benutzen, dass g+h=a und f+e=a-c sind.
Damit bekommen wir zwei Gleichungen, in denen neben a und c nur noch der Winkel alpha (bzw. dessen sin- und cos-Wert) vorkommt.
Die können wir so umformen, dass wir in beiden jeweils c/a durch k ersetzen können. Damit haben wir zwei Gleichungen mit alpha und dem gesuchten Wert für k. Das sieht zumindest handlicher aus.
Wir man die dann auflöst, ist mir im ersten Anlauf auch nicht klar, aber das ist glaube ich insgesamt zielführender. Es sieht dann jedenfalls "knackbarer" aus.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02
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Gut, dann probiere ich es:
sin(\alpha)=h/c
cos(\alpha)= f/c
sin(\alpha)=e/a
cos(\alpha)= g/a
(I) g+h=a
(II) f+e=a-c
Es gibt sich dann:
(Ia)
a*cos(\alpha)+c*sin(\alpha) = a
(IIa)
c*cos(\alpha)+a*sin(\alpha) = a-c
(Ia) und (IIa) teile ich nun durch a:
(Ib)
cos(\alpha)+c/a*sin(\alpha) = 1
(IIb)
c/a*cos(\alpha)+sin(\alpha) = (a-c)/a
Wie du verschlägst setze ich k = c/a:
cos(\alpha)+k*sin(\alpha) = 1
k*cos(\alpha)+sin(\alpha) = 1- k
Nun setzte ich die obere in die untere Gleichung ein:
k*cos(\alpha)+sin(\alpha) = cos(\alpha)+k*sin(\alpha) -k
k*cos(\alpha)-k*sin(\alpha)+k=cos(\alpha)-sin(\alpha)
k*(cos(\alpha)-sin(\alpha)+1)=cos(\alpha)-sin(\alpha)
k = (cos(\alpha)-sin(\alpha))/(cos(\alpha)-sin(\alpha)+1)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-02
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Hallo
Hier ein vielleicht einfacherer Weg
I h+g=a
II e+f=a-c
III a^2-2*a*c=f*h+e*g
IV f/h=g/e
V a^2=e^2+g^2
Gruß Caban
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-02
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epoche17:
Ginge nicht einfacher die obere Gleichung direkt nach k aufzulösen? Dann erhält man
\
k = (1-cos(\alpha))/sin(\alpha)
Das in die zweite Gleichung eingesetzt und dann den etwas steinigen Weg, das ganze nach sin(alpha) oder cos(alpha) aufzulösen...
oder bessere Idee:
Die beiden Ausdrücke, die wir da für k erhalten haben, einfach gleichsetzen und dann alles mit dem Hauptnenner malnehmen, ausmultiplizieren, sortieren...
:)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02
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Aber wenn ich beiden Ausdrücke mit k gleichsetze erhalte ich nur den Winkel? Der wäre dann 30°.
Ich soll doch das Verhältnis von k angeben.
Reicht dann der Ausdruck von k dann nicht für die Lösung der Aufgabe?
Ist meiner Ausdruck dann falsch? Ist ist ja viel länger??
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gonz
Senior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-02
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Naja, wenn du herausbekommst, dass der Winkel 30 Grad ist, dann kannst du daraus doch dann auch k bestimmen...
und bist quasi fertig.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Hallo @Caban,
deine Gleichung III kommt von Flächeninhalten?
Und wie Lösung ich dein Gleichungssystem?
Wieder I nach g und II nach e auflösen und in die anderen Einsetzen? Wie löse ich dann zuletzt die Gleichung nach a/c bzw. c/a auf?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Caban
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-03
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Hallo
Ja, die Gleichung stammt von der Fläche. Ich habe erst e und h eliminiert. Jetzt könnte man mit C witermachen. Welche Hilfesmittel stehen bei der Aufgabe zur Verfügung?
Gruß Caban
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-05-03
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das wäre meine elimination von e und h:
-die diagonalen d beider rechtecke sind gleichlang und parallel
-damit kann man das linke rechteck um seine diagonale spiegeln, erhält zwei kongruente blaue dreiecke, mit deren hilfe man e=a/2 herausbekommen kann, weil die beiden eingezeichneten längen [hd+c] zwei mal vorkommen und zusammen die gesamtbreite, also a, ergeben
unten in der skizze ist diese länge nochmals eingetragen
-damit wird die schrägstellung zu 30° im hellgrünen dreieck berechenbar, und somit lässt sich mit dem ähnlichen dunkelgrünen dreiecken h=c/2 berechnen
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_quadrat_in_rechtecke1.png
-jetzt müsste man noch den winkel der diagonalen im rechteck erkennen und mit seinem tan=(c/a) nach c auflösen
haribo
nachtrag, sehe erst jetzt dass mein hd schon mit f bezeichnet war, damit wär also auch f eliminiert f=a/2-c
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gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
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Wohnort: Harz
| Beitrag No.16, eingetragen 2021-05-03
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Perfekt, haribo! Auf genau so eine Art von Lösung hatte ich eigentlich die ganze Zeit geschielt - ohne eben die passende Idee zu haben.
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.17, eingetragen 2021-05-03
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Hallo beieinander! 😉
Ha! Die eindeutige Lösung muss lauten:
\showon
\(\frac{c}{a}\:=\:\frac{1}{2\,+\,\sqrt{3}}\:=\:2\,-\,\sqrt{3}\:\approx\:0,267949192431...\)
\showoff
Von folgenden sieben Zusammenhängen war ich ausgegangen:
(1) \(a\:=\:g\,+\,h\) [vertikale Zerlegung]
(2) \(a\:=\:c\,+\,e\,+\,f\) [horizontale Zerlegung]
(3) \(e\cdot g\,+\,f\cdot h\:=\:a^2\,-\,2\cdot a\cdot c\) [Restflächen links]
(4) \(\frac{e}{g}\:=\:\frac{h}{f}\) [Ähnlichkeit der rechtwinkligen Eckendreiecke]
(5) \(\frac{f\cdot h}{e\cdot g}\:=\:\frac{c^2}{a^2}\) [Flächenverhältnis aufgrund Ähnlichkeit]
(6) \(e^2\,+\,g^2\:=\:a^2\) [Pythagoras für größeres Eckendreieck]
(7) \(f^2\,+\,h^2\:=\:c^2\) [Pythagoras für kleineres Eckendreieck]
Mein Rechenweg:
(1*) \(a\:=\:g\,+\,h\) \(\Rightarrow\) \(a^2\:=\:g^2\,+\,2\cdot g\cdot h\,+\,h^2\)
(1*) \(\land\) (6) \(\Rightarrow\) (8) \(e^2\:=\:h^2\,+\,2\cdot g\cdot h\)
(4*) \(\frac{e}{g}\:=\:\frac{h}{f}\) \(\Leftrightarrow\) \(e\cdot f\:=\:g\cdot h\)
(4*) \(\land\) (8) \(\Rightarrow\) (9) \(e^2\:=\:h^2\,+\,2\cdot e\cdot f\)
(7*) \(h^2\:=\:c^2\,-\,f^2\)
(7*) \(\land\) (9) \(\Rightarrow\) (10) \(e^2\:=\:c^2\,-\,f^2\,+\,2\cdot e\cdot f\)
(10*) \(c^2\:=\:e^2\,-\,2\cdot e\cdot f\,+\,f^2\:=\:(e-f)^2\) \(\Rightarrow\) \(c\:=\:e\,-\,f\)
(2) \(\land\) (10*) \(\Rightarrow\) (11) \(a\:=\:2\cdot e\)
(11*) \(e\:=\:\frac{a}{2}\)
(6) \(\land\) (11*) \(\Rightarrow\) (12) \(g\:=\:a\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(4) \(\land\) (11*) \(\land\) (12) \(\Rightarrow\) (4**) \(\frac{e}{g}\:=\:\frac{h}{f}\:=\:\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(1) \(\land\) (4**) \(\Rightarrow\) (13) \(a\:=\:h\,\cdot\,\frac{2}{2-\sqrt{3}}\)
(4***) \(f\:=\:h\,\cdot\,\sqrt{3}\)
(2) \(\land\) (11*) \(\land\) (4***) \(\Rightarrow\) (14) \(c\:=\:\frac{a}{2}\,-\,h\cdot\sqrt{3}\)
(13*) \(h\:=\:a\,\cdot\,\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
(13*) \(\land\) (14) \(\Rightarrow\) (15) \(c\:=\:\frac{a}{2}\,-\,\frac{a}{2}\cdot(2-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}\:=...=\:a\,\cdot\,(2-\sqrt{3})\)
(15*) \(\frac{c}{a}\:=\:2\,-\,\sqrt{3}\) q.e.d.
Uff! 😎
p.s.
Äh... hab' ich jetzt (3) und (5) gar nicht gebraucht?! Ts...
1. Das muss einfacher gehen!
2. Wenn man \(\sqrt{3}\approx1,732\) im Kopf hat, gehts recht genau ohne TR!
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