Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Berufspenner Ueli rlk MontyPythagoras
Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Dirac-Stoßfolge umformen mittels Substitution
Autor
Universität/Hochschule Dirac-Stoßfolge umformen mittels Substitution
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-05-02

Hallo Leute, ich habe eine Frage. Undwzar geht es um die Umformung der Dirac-Stoßfolge, die dann anschließend mittels dem Ähnlichkeitssatz der Fourier-Transformation transformiert werden soll. Frage: In der ersten Zeile wird direkt schon der Betrag von T erwähnt. im weiteren Verlauf wird die rechte Seite mittels der linken Seite hergeleitet. Meine Frage ist nun, wie kommt man darauf, dass T im Betrag stehen muss. Da habe ich ein Fragezeichen in der Zeile, wo die Normierung erwähnt wird geschrieben. Also hat es etwas mit der Normierung zu tun und muss nicht in der Zeile danach wo auf der rechten Seite nach dem Gleichheitszeichen T geschrieben steht, nicht dieses dann im Betrag stehen ? Mir fehlt in der ganzen Herleitung der Betrag, deswegen Frage ich https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53320_Dirac-Sto_folge_Umformung.png


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-02

\quoteon(2021-05-02 20:46 - Sinnfrei im Themenstart) Meine Frage ist nun, wie kommt man darauf, dass T im Betrag stehen muss. \quoteoff Weil $\delta(\alpha x)=|\alpha|^{-1}\delta(x)$ eine der prominenten Rechenregeln für die Delta-Funktion ist. Der Beweis beruht im Wesentlichen auf der Substitution $y=\alpha x$, die du auch schon angewandt hast:$$ \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,\delta(\alpha\,x)\;\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(\alpha^{-1}y)\,\delta(y)\;{\mathrm dy\over|\alpha|}$$ Beachte, dass bei einer Substitution immer der Betrag der Funktionaldeterminante auftaucht. Im Eindimensionalen wird dieser Zusammenhang manchmal dadurch verschleiert, dass man den Betrag weglässt und dafür ggf. die Integrationsgrenzen umdreht. --zippy


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

Also wurde da nach der Zeile, nach "Normierung" der Betrag vergessen. Ist mit Funktionaldeterminante, der Konstante Faktor $\alpha$ gemeint ? Das sieht mir nach Distributionstheorie aus aber wir haben das ganze nur angewandt deswegen ohne phi


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-02

\quoteon(2021-05-02 22:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Ist mit Funktionaldeterminante, der Konstante Faktor $\alpha$ gemeint ? \quoteoff Ja: ${\mathrm dy\over\mathrm dx}=\alpha$


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

Wenn man das jetzt so allgemein betrachtet, ohne einen Anwendungsbezug, dann müssten ja oben in meiner Frage, die Betragszeichen in der Herleitung, nach der Zeile wo "Normierung" steht, auch sein oder ?


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-02

\quoteon(2021-05-02 22:53 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) dann müssten ja oben in meiner Frage, die Betragszeichen in der Herleitung, nach der Zeile wo "Normierung" steht, auch sein oder ? \quoteoff So ist es.


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

Kannst du mir noch erklären wie man auf folgendes kommt: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53320_Dirac-Sto_folge_Umformung_2.png Der Faktor vor der äusseren Klammer ist nicht das Problem, eher das was in der äussersten Klammer steht


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-02

Hier wird die Definition des Dirac-Kamms hingeschrieben und dann die Regel $\delta(\alpha x)=|\alpha|^{-1}\delta(x)$ mit $\alpha=T$ angewandt.


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02

Das ist meine letzte Frage dazu. Undzwar wird im Bild gesagt das der Betrag von T gekürzt wird. Jetzt haben wir ja im Zeitbereich mit einem Betrag T vor der Summe angefangen, im Bild verschwindet das einfach. Kann ich etwas aus dem Frequenzbereich mit etwas aus dem Zeitbereich kürzen ? Ich weiss ja das im Frequenzbereich nur Frequenzen und keine Zeitabhängigen Größen übrig bleiben. Mathematisch komme ich da nicht drauf. Vor allem ist ja die letzten Zeile im Zeitbereich ja nicht mehr das selbe, mit dem wir angefangen haben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53320_Dirac-Sto_folge_Umformung_3.png


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-03

Hier wird lediglich die Linearität der Fouriertransformation ausgenutzt: $\mathcal F(|T|\,\cdots)=|T|\,\mathcal F(\cdots)$


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03

Wo kann man denn da die Linearität anwenden. Es wird doch gesagt das Betrag T gekürzt wird. Betrag T fällt ja im Zeitbereich in der letzten Zeile komplett weg. Wenn ich die Linearität anwenden würde, hätte ich doch trotzdem noch irgendwo ein Betrag T.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3147
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-03

\quoteon(2021-05-03 00:08 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) Wo kann man denn da die Linearität anwenden. Es wird doch gesagt das Betrag T gekürzt wird. \quoteoff Die erste Zeile hat die Form $\mathcal F(|T|A) = |T|\,B$. Die Linearität liefert $\mathcal F(|T|A) = |T|\,\mathcal F(A) = |T|\,B$ Jetzt kann man durch $|T|$ kürzen und kommt zu $\mathcal F(A) = B$. Und das ist die letzte Zeile.


   Profil
Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03

Also wird ja doch vom Zeitbereich in den Frequenzbereich gekürzt. Ja ok jetzt habe ich das verstanden. Wenn man das so mit dem F aufschreibt wird es dann klar. Danke dir :)


   Profil
Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]