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Universität/Hochschule Volumen zwischen zwei Flächen
Spedex
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  Themenstart: 2021-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Hallo, angenommen ich habe zwei Flächen, \(z=x^2+2y\) und \(z=y+1\). Nun möchte ich mittels CAS das Volumen zwischen den beiden Flächen im positiven Oktanten darstellen und bestimmen. Die beiden Fläche kann man gut mittels Plot3D darstellen: \sourceon Mathematica Plot3D[{x^2 + 2 y, y + 1}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}] \sourceoff Allerdings ist da natürlich noch nicht das Volumen eingezeichnet. Ist es möglich das Volumen einzuzeichnen und zu bestimmen? Mit bestimmen meine ich auf "direkte" Art und Weise, nicht mittels: \sourceon Mathematica In[1]:= Integrate[ Integrate[Integrate[1, {z, x^2 + 2 y, y + 1}], {y, 0, 1 - x^2}], {x, 0, 1}] Out[1]= 4/15 \sourceoff Liebe Grüße Spedex\(\endgroup\)


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Spedex
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03

Sorry, mein Fehler, es wurde schonmal in einem Thread behandelt: \sourceon Mathematica r = ImplicitRegion[{0 <= x <= 1 && 0 <= y <= 1 - x^2 && x^2 + 2 y <= z <= y + 1}, {x, y, z}]; Print["Volumen=", Volume[r], " m^3"]; RegionPlot3D[r, PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}, {0, 2}}, PlotPoints -> 100, AxesLabel -> Automatic, AspectRatio -> 1] \sourceoff


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Spedex
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Ok, sollte es eine noch einfacher Möglichkeit geben, zB dass man automatisiert das Volumen zwischen denen Ebenen bestimmt anstelle das Volumen per Gleichungen im Sinne von \(\dots \leq x \leq \dots, \dots \leq y \leq \dots, \dots \leq z \leq \dots \) anzugeben, bin ich dafür auch offen, falls das jemand von euch weiß. Liebe Grüße Spedex\(\endgroup\)


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hyperG
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-03

Schön, dass Du meinen Beitrag https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=253578&start=0#p1843208 noch gefunden hast. Was bitte soll denn noch einfacher sein, als die 3 Randbedingungen für die 3 Raumkoordinaten? Die Sprache der Mathematik ist bereits die eindeutigste. Die 2 verknüpften Befehle Volume[ImplicitRegion[... ermitteln doch bereits das Gewünschte durch 3fach Integral. Ich vermute, dass Dir nur die Obergrenzen von x & y "zu viel" waren, da Du ja im 1. Beitrag alles bereits angegeben hattest. Man sieht jedoch sehr schön, dass die beiden Flächen OFFEN sind und ein unendlich großes Volumen ergeben: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_2FlaechenOffen.PNG Man muss also nur die offenen Stellen schließen, damit nur x>=0 und y>=0 betrachtet werden: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_2FlaechenGeschlossen.PNG


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hyperG
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-03

Man kann auch noch x>=0 && y>=0 zu x>=0>=-y zusammenfassen, dann bleibt ein einziges && Grüße


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hyperG
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-04

\quoteon(2021-05-03 20:07 - Spedex in Beitrag No. 2) ...das Volumen zwischen denen Ebenen bestimmt anstelle das Volumen per Gleichungen im Sinne von \(\dots \leq x \leq \dots, \dots \leq y \leq \dots, \dots \leq z \leq \dots \) anzugeben, bin ich dafür auch offen, falls das jemand von euch weiß. ... \quoteoff Der 1. Parameter von ImplicitRegion ist eine Funktion mit den Parametern x,y,z -> die als Ergebnis bool {also True oder False} ergeben muss. Das kann eine einfache (Un-)Gleichung sein -> wie bei der Kugel: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_RegionKugel.png ... oder eine Kombination aus mehreren Teil-Gleichungen sein, die mit dem mathematischen Bool-Funktionen/Operatoren {z.B. UND Symbol kurz: && } verknüpft sind. Diese 3 Schreibweisen ergeben das SELBE boolsche Ergebnis: \sourceon Mathematica x>=0 && y>=0 And[x>=0,y>=0] x>=0>=-y \sourceoff Oder mit Vorzeichenfunktion -> da kommt man ohne Ungleichung und ohne && Symbol aus: \sourceon Mathematica Sign[x] + Sign[y] == 2 ist identisch zu: x > 0 && y > 0 \sourceoff Und Mathematica hat viele Funktionen! Allein die boolschen: And(&&,∧) ▪ Or(||,∨) ▪ Not(!,¬) ▪ Nand(⊼) ▪ Nor(⊽) ▪ Xor(⊻) ▫ Xnor() ▪ Implies() ▪ Equivalent(⧦) ▪ Majority... In unserem Beispiel könnte man auch schreiben: \sourceon Mathematica r= ImplicitRegion[And[Sign[x] + Sign[y] == 2, x^2 + 2 y <= z,z <= y + 1], {x, y, z}]; \sourceoff (ergibt selbe Volumen & selbe 3D-Grafik) Jedoch funktioniert komischerweise kein Integral. Selbst wenn ich eine Funktion erstelle, die als Ergebnis x-y^2 ergibt, will ImplicitRegion einfach nicht damit rechnen... Grüße Gerd


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