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Universität/Hochschule J Grenzwerte
S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-04


Hallo zusammen,

wir diskutieren gerade seit einer Stunde an einer vermeintlich trivialen Aufgabe zu Grenzwerten.
Wir haben die Folge: \(a_n = \left(1 +\frac{1}{n^2}\right)^n\) mit dem Zusatz, dass \(a = lim_{lim n -> \infty} \neq 0\) ist.

Mit der bernoullischen Ungleichung können wir nach unten abschätzen, dass es größer gleich 1 sein muss, aber wir können nicht abschätzen, dass es kleiner gleich 1 ist, sodass wir wissen, dass es gleich 1 ist.
Meine Vermutung war halt, dass man nicht einfach annehmen kann, dass das  1/n^2 gegen 0 geht und damit daraus nen \(1^n \) folgt, weil der andere Teil 0 ist. Es entstehen ja unendlich viele Terme durch die Potenz, die man theoretisch aufsummieren könnte.

Kann jemand uns eventuell weiter helfen, wie man daran geht?

Schöne Grüße
S3bi



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

Tipp:

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{e}=1\]

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-04


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-04


Hallo zusammen,



Tipp:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{e}=1\]
Gruß, Diophant

könnte man sagen, dass \(lim_{ n-> \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right) = a  \) => \(lim_{ n-> \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right)^n = a^n\)?




andere Idee:


Könnte man beim letzten das \(n^k\) kürzen zu \( \sum 1/n^k \)?
Reihen hatten wir tendenziell noch nicht wirklich. Wie würde man dann denn Grenzwert bilden?


Schöne Grüße
S3bi



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-05-04 22:10 - S3bi in Beitrag No. 3 schreibt:

Tipp:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{e}=1\]
Gruß, Diophant

könnte man sagen, dass \(lim_{ n-> \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right) = a  \) => \(lim_{ n-> \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right)^n = a^n\)?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das verstehe ich nicht so ganz. Ich hatte es so gemeint:

\[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\]
Je nach Kontext müsste man da eventuell noch die eine oder andere Begründung angeben, warum man das machen darf. Wenn die Grenzwertsätze aber bereits eingeführt sind, sollte es klar sein.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo S3bi,

bitte schreib nie wieder sowas wie

\( lim_{ n-> \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right)^n = a^n\)

Welchen Wert soll das \( n\) bei \( a^n\) denn haben? \( n\) ist im Limes so etwas wie eine lokale Variable eines Unterprogramms und außerhalb des Limes nicht definiert.

Eine weitere Möglichkeit, deine Aufgabe zu lösen, ist drei Zutaten passend zu verarbeiten:

1. Die Bernoullische Ungleichung

2. \( \left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^n\)

3. \( \left(1-\dfrac{1}{n^4}\right)^n\)

Wohl bekomm's!

Wally
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-06


2021-05-04 22:10 - S3bi in Beitrag No. 3 schreibt:

Könnte man beim letzten das \(n^k\) kürzen zu \( \sum 1/n^k \)?
Reihen hatten wir tendenziell noch nicht wirklich. Wie würde man dann denn Grenzwert bilden?




1. ja
2. Stichwort geometrische Reihe



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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Danke euch allen. Haben jetzt mit der Kombination der Sachen und dem Dreifolgensatz das gemacht. Das sieht zumindest gut aus.



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