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| Autor |
  Biholomorphe Abbildungen in die Einheitsdisk |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2021-05-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Guten Abend miteinander
Ich tue mich mit folgender Aufgabe schwer:
Finde eine biholomorphe Abbildung $f: \Omega_1 \to \mathbb{D}$ mit Werten in der offenen Einheitsdisk $\mathbb{D}=\{z \in \C \mid |z|<1\}$ für
\[
\begin{align*}
\Omega_1 &= \{ z \in \C \mid \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z) < 2 \}
\end{align*}
\]
Ich habe die Cayley-Transformation $T:\mathbb{H}\to \mathbb{D},T(z)=\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}},$ zur Verfügung, und vermute, dass ich quasi die Menge $\Omega_1$ biholomorph um den Ursprung auf die obere Halbebene $\mathbb{H}$ "drehen" müsste (also mit etwas in der Art von $\Omega_1 \to \mathbb{H},z \mapsto |z|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\arg(z)-\frac{3\pi}{4}\right)}$), um dann die Cayley-Transformation zu verwenden.
Gibt's für diese Aufgabe einen allgemeinen Trick, wie man systematisch von gegebenem $\Omega$ auf eine Abbildung $f$ kommt, oder läuft es tatsächlich auf Herumbasteln heraus, bis was funktioniert?🤔\(\endgroup\)
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3648
Wohnort: der Nähe von Schwerin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-05
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Hallo,
$\Omega_1$ ist doch eine offener Halbebene so wie $\mathbb H$ auch.
Vielleicht kannst du eine affine Abbildung finden, die $\Omega_1$ auf $\mathbb H$ abbildet.
Achso, das hattest du ja sogar so ungefähr geschrieben. Wir drehen um 225° und verschieben danach nach oben oder unten...
Drehen um 225° ist $z\mapsto -\frac{1+i}{\sqrt 2}z$
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Phoensie
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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\)
Lieber ochen
Ach, logo. In Polardarstellung ist deine Drehabbildung plötzlich selbsterklärend. Danke dir!🤗
Ich versuche es mal:
Sei $h:\Omega \to \mathbb{H}$, $h(z):= - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z$ deine Drehabbildung. Unter Verwendung der Cayley-Transformation müsste dann $f:\Omega \to \mathbb{D}$, definiert als $f(z):=(T \circ h)(z)$, eine gewünschte Abbildung sein; explizit lautet diese
\[
\begin{align*}
f(z) = \frac{\left( - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z \right)-\mathrm{i}}{\left( - \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z \right) + \mathrm{i}}
\end{align*}
\]
Stimmt das so weit?\(\endgroup\)
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ochen
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-05
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Nicht ganz, denn du musst die Halbebene nach der Drehung noch um $\sqrt\ldots$ nach oben schieben.
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Phoensie
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\)
\quoteon(2021-05-05 22:21 - ochen in Beitrag No. 3)
Nicht ganz, denn du musst die Halbebene nach der Drehung noch um $\sqrt\ldots$ nach oben schieben.
\quoteoff
Also definiere ich $h(z) := -\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}} z + \sqrt{2}$ ?🤔\(\endgroup\)
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ochen
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-06
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Das sieht gut aus :) Aber es fehlt ein i.
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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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