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Analysis » Topologie » Menge der konvexen Polynome abgeschlossen
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Universität/Hochschule Menge der konvexen Polynome abgeschlossen
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Betrachtet soll werden soll die Menge reellen Polynome mit Grad höchstens gleich n und konvex auf \([-1,1]\): \(K:=\{p: grad(p)\leq n  , p''(x) \geq 0 \forall -1 \leq x \leq 1\}\).
Und zwar als Teilmenge von \(L^2[-1,1]\) , also ausgestattet mit der \(\vert \vert . \vert \vert _{L^2}\)-Norm.

Ich will wissen, ob \(K\) eine abgeschlossene Menge ist.

Eine Idee von mir war, zu zeigen , dass \(F(p):=\inf _{x \in [-1,1] } p''(x) \) als Funktional vom Raum der reellen Polynome von Grad höchstens gleich n in die reellen Zahlen stetig ist. Dann wäre \(K\) nämlich das Urbild einer abgeschlossenen Menge (die nichtnegativen reellen Zahlen) , und somit selbst abgeschlossen...
Zu zeigen wäre also, dass es eine Konstante c gibt, sodass \(\vert \inf p''(x) \vert ^2 \leq c \int^1_{-1} \vert p(s) \vert ^2 ds \) für alle \(p \in \mathbb{R}_n[z]\) gilt.

Weiter komme ich aber nicht. Wenn jemand einen Hinweis hat, oder gar einen ganz anderen Zugang , dann wäre das sehr hilfreich! Lg

edit:
Als Hinweis steht, dass: der Vektorraum der reellen Polynom vom Grad kleiner gleich n ist endlichdimensional, und die Funktionale \(F(p)=p(t)\) sowie \(G(p)=p''(t)\) sind für jedes \(t\) linear. Und daraus soll man schliessen können, dass \(K\) abgeschlossen ist?



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Also die L^2 Konvergenz mit dieser Bedingung an die zweite Ableitung unter einen Hut zu bringen ist echt unbequem 😃



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-06

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Hallo,

kannst du zeigen, dass für jedes $t\in [0,1]$ die Menge $K_t:=\{p\in \IR[x]\mid \deg p \leq n \land p''(t)\geq 0\}$ abgeschlossen ist?
\(\endgroup\)


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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Ok, wenn man das hat, dann ist \(K\) als Durschnitt der \(K_t\) über alle \(t\) auch abgeschlossen.

Und dass \(K_t\) abgeschlossen ist könnte man z.B. über Folgenstetigkeit bzw  mit einer Darstellung als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion bewerkstelligen. Aber da ist mir immer noch die \(L^2\) Norm im Weg!

Wenn ich zum Beispiel zeigen will, dass \(F_t(p):=p''(t)\) stetig ist , dann muss ich (z.B.) zeigen , dass für \((p_n)_n\) mit \(\vert \vert p_n \vert \vert _{L^2} = \int _{-1} ^1 \vert p_n(s) \vert ^2 ds \to 0\) auch \(F_t(p_n)=p_n''(t) \to 0\) folgt. Aber dass die zweite Ableitung mit diesem Integral irgendwas zu tun hat bezweifel ich bzw sehe ich nicht.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-05-06 16:11 - mpc im Themenstart schreibt:
Eine Idee von mir war, zu zeigen , dass \(F(p):=\inf _{x \in [-1,1] } p''(x) \) als Funktional vom Raum der reellen Polynome von Grad höchstens gleich n in die reellen Zahlen stetig ist. Dann wäre \(K\) nämlich das Urbild einer abgeschlossenen Menge (die nichtnegativen reellen Zahlen) , und somit selbst abgeschlossen...
Zu zeigen wäre also, dass es eine Konstante c gibt, sodass \(\vert \inf p''(x) \vert ^2 \leq c \int^1_{-1} \vert p(s) \vert ^2 ds \) für alle \(p \in \mathbb{R}_n[z]\) gilt.  
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Die Abbildung $F$ ist nicht linear, daher stimmt Charakterisierung für Stetigkeit nicht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Ups, stimmt, diesen Weg habe ich gottseidank eh schon aufgegeben.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
In endlich dimensionalen normierten Räumen sind lineare Funktionale immer stetig. Insbesondere ist also $p\mapsto p''(t)$ stetig.
\(\endgroup\)


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mpc
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Das ärgert mich jetzt dass die Lösung so "leicht" ist. Danke für deine Hilfe!



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