Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Gleichmäßige Stetigkeit von 1/ln(x) auf fixem Intervall
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Gleichmäßige Stetigkeit von 1/ln(x) auf fixem Intervall
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Sei $b \in ]0,1[$. Die Funktion

$f: [0,b] \to \IR$ mit $f(x):= \begin{cases} \frac{1}{ln(x)} & \text{ für } x \in [0,b] \\ 0 & \text{ für } x = 0 \end{cases}$

ist gleichmäßig stetig, aber zu keinem Exponenten $\alpha$ Hölder-stetig.


Nun denn, für die gleichmäßige Stetigkeit muss ja gezeigt werden:

$\forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x_1, x_2 \in [0,b]: \; (|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2| < \epsilon)$

Wir haben $|f(x_1) - f(x_2)| = \left|\frac{1}{ln(x_1)} - \frac{1}{ln(x_2)}\right| = \left|\frac{ln(x_2) - ln(x_1)}{ln(x_2) \cdot ln(x_1)}\right|$

Nun ist es ja so, dass die Funktion $f$ stetig ist, und auf dem Intervall $[0,b]$ beschränkt. Das heißt, man kann $|ln(x_1) - ln(x_2)|$ durch eine Konstante $C \ge 0$ abschätzen. Wie bringt man hier jedoch $|x_1 - x_2| < \delta$ mit in's Spiel?

Und wie könnte man beweisen, dass die Funktion nicht Hölder-stetig ist?


Wie immer bin ich euch für jede Hilfe sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3284
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Hallo,

stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind auch gleichmäßig stetig.
Es genügt also zu zeigen, dass $f$ stetig ist.

Nimm an, dass $f$ hölderstetig ist und teile durch $|x-x_0|^\alpha$. Dann wähle $x$ und $x_0$ klein und nahe beieinander.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Hey ochen, ich danke dir für deine Tipps!


Angenommen $f$ wäre Hölder-stetig zu einem Hölder-Exponenten $\alpha \in ]0,\infty[$. Dann existiert ein $C > 0$, sodass für alle $x_1, x_2 \in ]0,b]$ gilt: $|f(x_1) - f(x_2)| \le C \cdot |x_1 - x_2|^\alpha$, wobei ohne Einschränkung $x_1 \neq x_2$ sei.

Da $f$ auf einem kompakten Intervall definiert und stetig ist, ist $f$ beschränkt und somit gilt $\left|\frac{1}{ln(x_1)} - \frac{1}{ln(x_2)}\right| \le B$.

Es folgt:
$\frac{|f(x_1) - f(x_2)|}{|x_1 - x_2|^{\alpha}} = \frac{\left|\frac{1}{ln(x_1)} - \frac{1}{ln(x_2)}\right|}{|x_1 - x_2|^{\alpha}} \le C \cdot B$.

Wenn man nun aber $x_1$ und $x_2$ beliebig nahe beieinander wählt, dann liegen doch auch $\frac{1}{ln(x_1)}$ und $\frac{1}{ln(x_2)}$ beliebig nahe beieinander, und ich finde keinen Widerspruch.

Wie kann man den Widerspruch erzielen?


Viele Grüße,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3284
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-06


Hallo nochmal,

ich setze $x_1=0$, dann haben wir
\[
\frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|^\alpha}=\frac{1}{|x|^\alpha|\ln(x)|}
\] und das kann für kleines $x$ ganz schön groß werden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Hallo nochmals ochen,

ja stimmt, daran hatte ich nicht gedacht, einen Punkt als die Null zu fixieren - Danke!

Eine kurze Frage habe ich noch: Ich weiß, dass $\lim_{x \to 0} |x||ln(x)| = 0$ ist. Aber wieso folgt daraus, dass auch $\lim_{x \to 0} |x|^{\alpha}|ln(x)| = 0$ ist?


Viele Grüße,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3284
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-06


Hallo,

ich lasse mal die Betragsstriche weg. Wende die Regel von l'Hospital an.
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^\alpha\ln(x)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{-\alpha}}{\ln(x)}
\]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Hey ochen,

ja damit geht es. Hätte erwähnen sollen, wie und ob es ohne L‘Hospital aus dem bereits Bekannten $\lim_{x \to 0} |x||ln(x)| = 0$ folgt?

Viele Grüße,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3284
Wohnort: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-06


2021-05-06 20:12 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:
Hätte erwähnen sollen, wie und ob es ohne L‘Hospital aus dem bereits Bekannten $\lim_{x \to 0} |x||ln(x)| = 0$ folgt?
Wie du magst :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Danke dir für deine Hilfe, ochen! :-)

Viele Grüße und einen schönen Abend noch,
X3nion


-----------------
Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]