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Kein bestimmter Bereich J * Grenzwertig IX
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-07


$\displaystyle \cos{\frac{\pi}{12}}\cdot\cos{\frac{\pi}{24}}\cdot\cos{\frac{\pi}{48}}\cdot\cos{\frac{\pi}{96}}\cdots =\, ?$

Antworten wie immer mit PN. Viel Freude und ein schönes Wochenende!

Grüße Squire



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09


Wie viele haben denn schon eine Lösung abgegeben? ^^
(Und ist meine richtig? xD)



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Dank und Gratulation bislang an

Sismet
MartinN
JoeM
MontyPythagoras

Weitere Lösungen willkommen!

Grüße Squire



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-17


Gratulation auch an Wauzi! Hier meine Lösung:


$\displaystyle \cos{\frac{\pi}{12}}\cdot\cos{\frac{\pi}{24}}\cdot\cos{\frac{\pi}{48}}\cdot\cos{\frac{\pi}{96}}\cdots =\lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^n \cos{\frac{\pi}{6\cdot 2^k}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}}\left(\prod_{k=1}^n \cos{\frac{\pi}{6\cdot 2^k}}\right)\cdot\sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}$

Das Produkt kann nun unter Verwendung von $\displaystyle \cos{x}\sin{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$ berechnet werden:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}}\left(\prod_{k=1}^n \cos{\frac{\pi}{6\cdot 2^k}}\right)\cdot\sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n \sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}}\cdot \sin\frac{\pi}{6}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}{\sin{\frac{\pi}{6\cdot 2^n}}}\cdot \frac{6}{\pi}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{\pi}$




Danke fürs Mitmachen! Alternativlösungen ab sofort hier willkommen!

Grüße Squire



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-17


Bitte...

Zuerst durch vollständige Induktion:
\(\prod_{i=0}^k \cos(\frac{1}{2^i}d) = \frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} \cos(\frac{2n-1}{2^k}d)\)

Dazu nutzen wir: \(\cos(A) \cdot \cos(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]\)

IA für \(k = 1\):
\(\prod_{i=0}^1 \cos(\frac{1}{2^i}d) = \cos(\frac{1}{1}d) \cdot \cos(\frac{1}{2}d) = \frac{1}{2} [\cos(\frac{1}{2}d) + \cos(\frac{3}{2}d)] = \frac{1}{2^1} \sum_{n=1}^{2^1} \cos(\frac{2n-1}{2^1}d)\)

IV für \(k \geq 1\):
\(\prod_{i=0}^k \cos(\frac{1}{2^i}d) = \frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} \cos(\frac{2n-1}{2^k}d)\)

IS für \(k \to k+1\):
\(\prod_{i=0}^{k+1} \cos(\frac{1}{2^i}d) = [\frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} \cos(\frac{2n-1}{2^k}d)] \cdot \cos(\frac{1}{2^{k+1}}d)\\
= \frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} [\cos(\frac{2n-1}{2^k}d) \cdot \cos(\frac{1}{2^{k+1}}d)]\\
= \frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{2} [\cos(\frac{4n-3}{2^{k+1}}d) + \cos(\frac{4n-1}{2^{k+1}}d)]
= \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{n=1}^{2^{k+1}} \cos(\frac{2n-1}{2^{k+1}}d)\)
qed


Nun betrachten wir ein Intervall \(I = [0,2d]\) der cos-Funktion, welche in \(2^k\) Teil-Intervalle \(I_n = [\frac{2n-2}{2^k}d,\frac{2n}{2^k}d]; n \in [1,2^k]\). Jedes Teil-Intervall hat die Breite \(\frac{2d}{2^k}\) und annähernd die Höhe der Teil-Intervall-Mitte \(\cos(\frac{2n-1}{2^k}d)\).
Damit gilt für \(k \to \infty\):
\(\int_0^{2d} \cos(x) dx = \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{2^k} \frac{2d}{2^k} \cos(\frac{2n-1}{2^k}d)\\
= (2d) \cdot \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{2^k} \sum_{n=1}^{2^k} \cos(\frac{2n-1}{2^k}d)\\
= (2d) \cdot \lim\limits_{k \to \infty} \prod_{i=0}^k \cos(\frac{1}{2^i}d)\)

Nach dem gesuchten Produkt umgestellt:
\(\lim\limits_{k \to \infty} \prod_{i=0}^k \cos(\frac{1}{2^i}d) = \frac{\int_0^{2d} \cos(x) dx}{2d} = \frac{\sin(2d)}{2d} \)


Hierbei ist \(d = \frac{\pi}{12}\):
\(\lim\limits_{k \to \infty} \prod_{i=0}^k \cos(\frac{1}{2^i} \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(x) dx}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin(x)|_0^{\frac{\pi}{6}}}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} = \frac{3}{\pi}\)



Hoffentlich hab ich mich nicht irgendwo mit dem Intervall verhaspelt xD




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