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Funktionentheorie » Holomorphie » Wie komme ich auf den Betrag?
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Universität/Hochschule Wie komme ich auf den Betrag?
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-05-08

Hey, könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich diese Gleichheit zeigen kann? $\Omega, \Omega′ \in \mathbb{C}$ offen, $f \in \mathbb{C^2}(\Omega, \Omega′)$ und holomorph und $F \in \mathbb{C^2}(\Omega')$. Ich soll nun zeigen, dass für alle $z$ gilt: $\Delta(F\circ f)(z)=\Delta F(f(z))* \left| \frac{\partial f}{\partial z}(z)\right|^2$ Bisher bin ich so vorgegangen, dass ich zunächst den Laplace Operator ausgeschrieben habe. Danach habe ich die Wirtinger-Kettenregel angewendet und komme auf diesen Ausdruck: $\Delta(F\circ f)(z)= \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \overline{z}}(F\circ f)(z)=\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial F}{\partial w}(f(z))*\frac{\partial f}{\partial z}(z)+\frac{\partial F}{\partial \overline{w}}(f(z))*\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}(z))$ Bin ich hier ganz auf dem falschen Weg? Bzw. wisst ihr vielleicht wie ich das $w$ weg- und den Betrag reinbekomme? Und was würde sich ändern wenn $f$ antiholomorph wäre? Viele Grüße happy_hippo


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-08

\quoteon(2021-05-08 12:35 - happy_hippo im Themenstart) Bin ich hier ganz auf dem falschen Weg? \quoteoff In dem erste Summanden, den du hier hinschreibst, müsste der Faktor ${\partial f\over\partial\bar z}$ statt ${\partial f\over\partial z}$ stehen, und der verschwindet, da $f$ holomorph ist: \quoteon(2021-05-08 12:35 - happy_hippo im Themenstart) $\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \overline{z}}(F\circ f)(z)=\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial F}{\partial w}(f(z))*\frac{\partial f}{\partial z}(z)+\frac{\partial F}{\partial \overline{w}}(f(z))*\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}(z))$ \quoteoff Daher ist$$ \Delta\,(F\circ f)(z) = 4\,{\partial\over\partial z}{\partial\over\partial\bar z}\,F(f(z)) = 4\,{\partial\over\partial z}\!\left[ {\partial F\over\partial\bar z}{\partial\bar f\over\partial\bar z} \right] = 4\,{\partial^2F\over\partial z\partial\bar z}\, {\partial\bar f\over\partial\bar z} {\partial f\over\partial z} = \Delta F\cdot\left|{\partial f\over\partial z}\right|^2 \;. $$Dabei wurde im vorletzen Schritt$$ {\partial\over\partial z}{\partial\bar f\over\partial\bar z} = \overline{{\partial\over\partial\bar z}{\partial f\over\partial z}} =0$$verwendet. --zippy


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-08

Vielen vielen Dank Zippy für deine Hilfe, das ist wirklich unglaublich nett von dir. Ich habe die Aufgabe wegen dir nun verstehen können. 😄


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-08

Ich habe doch noch eine kurze Frage, allerdings nicht zu deinem Teil sondern zu meinem. Ich habe die Formel ganz stur nach unserem Skript angewendet. Aber weißt du vielleicht, wofür das $w$ hier eigentlich genau steht?


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-08

\quoteon(2021-05-08 15:01 - happy_hippo in Beitrag No. 3) Aber weißt du vielleicht, wofür das $w$ hier eigentlich genau steht? \quoteoff Das soll eine mögliche Doppeldeutigkeit beim Hinschreiben der Ableitungen vermeiden. Man muss ja zwei Fälle unterscheiden: 1. Man leitet $F$ zuerst ab und verkettet die Ableitung dann mit $f$. 2. Mas verkettet erst $F$ mit $f$ und leitet dann ab. Die Funktionswerte an der Stelle $z$ dieser beiden Funktionen kann man z.B. durch die folgende Schreibweise unterscheiden: 1. $\displaystyle {\partial F\over\partial z}\bigl(f(z)\bigr)$ 2. $\displaystyle {\partial\over\partial z}F\bigl(f(z)\bigr)$ Eine andere Konvention beruht darauf, dass man den Argumenten von Funktionen "natürliche Namen" gibt, beispielsweise $w\mapsto F(w)$ und $z\mapsto f(z)$. Dann kann man schreiben: 1. $\displaystyle {\partial F\bigl(f(z)\bigr)\over\partial w}$ 2. $\displaystyle {\partial F\bigl(f(z)\bigr)\over\partial z}$ Und man findet auch alle möglichen Mischformen wie etwa 1. $\displaystyle {\partial F\over\partial w}\bigl(f(z)\bigr)$.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-08

Okay, vielen Dank nochmal, dass du mit so einer ausführlichen Antwort dein Wissen geteilt hast😄👍


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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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