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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Warum "Adjunktions"-formel?
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Universität/Hochschule Warum "Adjunktions"-formel?
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi,

man bezeichnet mit dem kanonischen Geradenbündel eines glatten $k$-Schema die Garbe $\omega_X = \det(\Omega_{X/k})$. Wenn nun $Y \hookrightarrow X$ ein weiteres abgeschlossenes glattes $k$-Unterschema ist, so besagt die Adjunktionsformel $$ \omega_{Y} \cong \omega_X|_Y \otimes \det(\mathcal{N}_{Y/X}).$$ Warum heißt sie so? Wo steckt die Adjunktion? Freilich könnte man darauf eine Hom-Tensor Adjunktion anwenden (und danach noch eine Push-Pull Adjunktion), aber verdient sie alleine dadurch schon den Namen "Adjunktionsformel"? Oder vielleicht kommt Adjunktion hier gar nicht vor der kategorientheoretischen Adjunktion?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-08


Die zweite Formel hier en.wikipedia.org/wiki/Adjunction_formula sieht schon eher nach einer Adjunktion aus: man addiert ("adjungiert") zum kanonischen Divisor einen anderen Divisor. Ob das die Herkunft ist, kann ich nicht sagen.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09


Danke, das sieht gut aus!


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-10


In Adjunction and Inversion of Adjunction schreibt Stefano Filipazzi:

We call adjunction the process of inferring statements about a subvariety from some knowledge of the ambient variety


In The Adjunction Conjecture and its applications schreibt Florin Ambro:

The rough classification of projective algebraic varieties attempts to divide them according to properties of their canonical class $K_X$. Therefore, whenever two varieties are closely related, it is essential to find formulas comparing their canonical divisors. Such formulas are called adjunction formulas.


Vielleicht ist hier also eher die Bedeutung "anhängen" von lat. adjungere gemeint.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Danke fürs Heraussuchen. Hast du zufällig eine Idee, wieso die kategorientheoretische Adjunktion dann "Adjunktion" heißt? Auf dem ersten Blick scheint das ja erstmal nichts mit addieren oder anhängen zu tun zu haben.


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-10


Der Begriff kommt sicherlich von der adjungierten linearen Abbildung $ f^* : W \to V$ von einer linearen Abbildung $f : V \to W$ zwischen euklidischen Vektorräumen (oder Hilberträumen), zumal ja die definierende Beziehung $\langle f^*(w),v \rangle = \langle v,f(w) \rangle$ eine zum Himmel schreiende Ähnlichkeit mit der Definition von adjungierten Funktoren besitzt. Die Frage stellt sich also bereits für die lineare Algebra. Ich habe (noch) keine Antwort.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Guter Punkt und auch in der linearen Algebra habe ich noch nie verstanden, wieso man sie "adjungiert" nennt. Das frage ich mich eigentlich fast immer, wenn man irgendwo das Wort "Adjunktion" in der Mathematik verwendet.

Hier sind zwei Links von hsm.se zur Geschichte der Adjunktion (prinzipiell wird bloß auf Jeff Millers Seite verwiesen), jeweils steht aber nicht da, wieso die jeweiligen Mathematiker es Adjunktion genannt haben. Ich frage mich, was sie sich damals gedacht haben...


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-10


Bei Jeff Millers Seite hatte ich auch schon nachgesehen natürlich, aber da steht ja leider nichts dazu.



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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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