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Kein bestimmter Bereich Bildmenge (nur eine allgemeine Frage)
Magma93
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  Themenstart: 2021-05-09

Hallo, siehe hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_2_Unbenannt.png $f(x)$ heißt Bild von $x$. Alles klar. Kann ich dann zu $f(X)$ auch folgendes sagen : $f(X)$ heißt das Bild von $X$ ? Es heißt aber in der Definition anders: $f(X)$ heißt Bildmenge von $f$. Wieso kann ich hier nicht sagen: $f(X)$ heißt Bildmenge von $X$ ? Ich verstehe die unterschiede bezogen auf die Deutsche Sprache nicht.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das hat nicht viel zu bedeuten. Im einen Fall \(f(x)\) ist das Bild ein Element der Bildmenge, im anderen Fall \(f(X)\) ist es die Bildmenge selbst. Da die jeweilige Bedeutung i.d.R. aus dem Kontext heraus klar ist, wird in der Literatur oft anstatt Bildmenge auch das Wort Bild verwendet. \quoteon(2021-05-09 11:26 - Magma93 im Themenstart) Wieso kann ich hier nicht sagen: $f(X)$ heißt Bildmenge von $X$ ? \quoteoff Die Frage verstehe ich nicht: das wird doch in dem dargestellten Text genau so verwendet, wieso solltest du das dann nicht sagen können? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Magma93
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09

Hallo Diophan, dank erstmal. \quoteon das wird doch in dem dargestellten Text genau so verwendet, wieso solltest du das dann nicht sagen können? \quoteoff Na ja, es wird ja dort gesagt: $f(X)$ heißt Bildmenge von $f$ ? Aber sie sagen nicht: $f(X)$ heißt Bildmenge von $X$ ? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_4_Unbenannt.png


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Kitaktus
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-09

Hier gibt es einen kleinen Bedeutungsunterschied: $f(X)$ ist das Bild von $X$ unter der Abbildung $f$. Ist aber $X$ außerdem noch die Definitionsmenge von $f$, dann nennt man $f(X)$ Bildmenge von $f$. Bewusst habe ich einmal "Bild" und einmal "Bildmenge" geschrieben. Im zweiten Fall wird eine Eigenschaft von $f$ betont. Es wird ausgesagt, welche Werte $f(x)$ überhaupt annehmen kann. Im ersten Fall wird eine Eigenschaft von $X$ betont, nämlich welche Bilder $X$ unter der Abbildung $f$ hat. Im ersten Fall kann man $X$ durch jede beliebige Menge $X'\subseteq X$ ersetzen: $f(X')$ ist das Bild von $X'$ unter der Abbildung $f$. Im zweiten Fall geht das nicht. Es gibt nur eine Bildmenge von $f$, nämlich die Menge aller $f(x)$, mit $x$ Element der Definitionsmenge.


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Magma93
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09

Danke, bevor ich das von dir richtig verstehen kann, muss ich kurz etwas nachfragen, und danach nochmal etwas. Aber erstmal hier das hier: Das Wort ,,Bild" bezieht sich auf die einzelnen Funktionswerte $f(x)$ , die in einer Bildmenge $f(X)$ enthalten sind. Richtig?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Magma93, dein Missverständnis rührt meiner Meinung nach daher, dass du nur Elemente und Mengen betrachtest. Die Hauptrolle bei diesen ganzen Fragen gebührt aber den Abbildungen. Erst durch eine Abbildung kann man überhaupt so etwas wie ein Bild erhalten. Man kann also bspw. sagen: \(f(x)\) ist das Bild von \(x\) (unter der Abbildung \(f\)). Genauso gut kann man aber auch sagen: \(f(X)\) ist das Bild von \(X\) (unter der Abbildung \(f\)). Im Zusammenhang mit linearen Abbildungen ist es bspw. absolut üblich bzw. die Regel, von Bildern zu sprechen, wenn man Bildmengen meint. Und so lange klar ist, was gemeint ist, kann und muss Sprache nicht die gleiche Präzision haben, wie die Mathematik... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Magma93
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09

Vielen Dank, könntest du mir noch die Frage 1) hier beantworten, damit ich was im Gehirn ausschließen kann? ---------------- 1 )Das Wort ,,Bild" bezieht sich auf die einzelnen Funktionswerte f(x) , die in einer Bildmenge f(X) enthalten sind. Richtig? ---------------- Wenn das beantwortet wurde, danach muss ich noch eine Frage stellen, und wenn ich die auch weiß, dann verstehe ich das komplette Puzzel.


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-09

Hallo, nochmal: \quoteon(2021-05-09 15:10 - Magma93 in Beitrag No. 6) könntest du mir noch die Frage 1) hier beantworten, damit ich was im Gehirn ausschließen kann? ---------------- 1 )Das Wort ,,Bild" bezieht sich auf die einzelnen Funktionswerte f(x) , die in einer Bildmenge f(X) enthalten sind. Richtig? ---------------- \quoteoff Das kann man so weder mit 'ja' noch mit 'nein' beantworten. Das Bild ist immer das, was durch eine Abbildung erzeugt wird, also hinten rauskommt, um es mal flapsig zu sagen. Wann man jetzt Bilder zu einer Menge zusammenfasst und dann auch von einer Bildmenge spricht oder aber diese auch als Bild bezeichnet, dass kommt auf den Sachzusammenhang an, und durchaus auch in einem gewissen Rahmen auf die Vorlieben der Autor:innen. \quoteon(2021-05-09 15:10 - Magma93 in Beitrag No. 6) Wenn das beantwortet wurde, danach muss ich noch eine Frage stellen, und wenn ich die auch weiß, dann verstehe ich das komplette Puzzel. \quoteoff Sorry, aber ich glaube, du versuchst hier ein Stück weit etwas zu verstehen, wo es nichts zu verstehen gibt. Gruß, Diophant


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Kitaktus
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-09

Vielleicht wird es klarer, wenn man das Wort "Bildmenge" durch "Wertebereich" ersetzt. Sie $f:X\to Y$ eine Funktion. Sei $X'\subseteq X$. Dann nennen wir $f(X')$ das Bild von $X'$. Ein Spezialfall davon ist $X'=X$. $f(X)$ ist das Bild von $X$ (unter der Abbildung $f$). Unabhängig davon nennen wir $f(X)$ auch den _Wertebereich_ von $f$. $f(X)$ ist also gleichzeitig "das Bild von $X$" und "der Wertebereich von $f$". So wie der Sohn meiner Frau gleichzeitig der Bruder meiner Tochter ist.


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-09

Hallo Kitaktus, hm, vom Wertebereich spricht man aber doch eher in der Analysis und verwandten Gebieten. Der Begriff wäre mir jetzt bspw. in der linearen Algebra noch nicht untergekommen. (Vermutlich ist die Frage jedoch im Zusammanhang mit der Analysis entstanden.) Gruß, Diophant


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Magma93
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09

Hallo, okey. Dann habe ich das nun verstanden und mit eigenen Worte versucht dieses Themengebiet zusammenzufassen. Ihr müsst das nicht lesen, ist echt viel. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_3_1.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_2_2.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_3.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_4.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_5.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_6.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_7.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_8.png https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_9.png


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Kitaktus
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-10

\quoteon(2021-05-09 17:58 - Diophant in Beitrag No. 9) Hallo Kitaktus, hm, vom Wertebereich spricht man aber doch eher in der Analysis und verwandten Gebieten. Der Begriff wäre mir jetzt bspw. in der linearen Algebra noch nicht untergekommen. \quoteoff Das kann gut sein. Ich habe den Begriff nur eingeführt, damit der Unterschied zwischen "Bild" und "Bildmenge" deutlicher wird, da diese beiden Begriffe ja auch gerne mal synonym verwendet werden. Ich finde einen Satz wie "Der Wertebereich von f ist das Bild von X." verständlicher als "Das Bild von f ist das Bild von X."


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