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Lineare Algebra » Eigenwerte » charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Eigenwerte
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Universität/Hochschule J charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Eigenwerte
aures13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-09


Sehr geehrte Matheplaneten-Mitglieder,

ich weis beim folgenden Beispiel nicht weiter.
Es geht wie folgt;
Sei f Element von L(V,V)
a/ Beweise: Gibt es n=dimV verschiedene Eigenwerte von f, so folgt dass das Minimalpolynom gleich (-1)^n mal den charakteristischen Polynom ist. (Hinweis: Satz von Cayley-Hamilton)
b/ Zeige anhand eines Beispiels, dass aus den Minimalpolynom = (-1)^n mal den charakteristischen Polynom nicht geschlossen werden kann, dass es n verschiedene Eigenwerte von f gibt.

Wie soll ich da vorgehen?
Wäre über jede Hilfe dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
aures13



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09


Hallo,

bei der a) musst du nur einige Eigenschaften des Minimalpolynoms und des charakteristischen Polynoms verwenden.
Welche Eigenschaften kennst du denn?

Finde für die b) eine nilpotente $2\times 2$-Matrix, die nicht die Nullmatrix ist.



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aures13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Hallo ochen,

danke für deine schnelle Hilfe.
Bei a/ kenne ich folgende Eigenschaften:
Das Minimalpolynom von f ist ein Annulatorpolynom mit den kleinsten Grad.
Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms.
Da unser charakteristisches Polynom n verschiedene Eigenwerte hat ist unser Minimalpolynom genauso groß wie das charakteristische Polynom. Aber von woher kommt das (-1)^n ?


zu b/ würde mir mal
0 1
0 0 als Matrix einfallen

Mit freundlichen Grüßen
aures13



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-11


Das kommt auf die Definition eures charakteristischen Polynoms an. Wenn es durch $p_A(t)=\det(A-tI)$ definiert wurde, ist $(-1)^n$ der führende Koeffizient. Wurde es als $p_A(t)=\det(tI-A)$ definiert, ist es normiert.



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aures13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


Hallo ochen,

danke für deine Hilfe.

Zu a/
schreibe ich es jetzt folgendermaßen auf:

Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms und da sie unterschiedliche Eigenwerte haben folgt, dass sie den selben Grad haben.
Das heißt ich kann das charakteristische Polynom durch das Minimalpolynom dividieren und erhalte (-1)^n, dass ich zur gewünschten Formel umformen kann.

Zu b/
Aus der Matrix
0 1
0 0 erhalte ich das charakteristische Polynom x^2 und somit die Eigenwerte 0 mit algebraischer Vielfachheit 2.
Der Eigenraum dazu wäre [(1,0)] und meine Jordannormalform wäre
0 1
0 0 daraus kann ich ablesen, dass das Minimalpolynom x^2 ist und somit folgt die Aussage zu b.



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aures13 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
aures13 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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