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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von Doppelreihen
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Universität/Hochschule J Konvergenz von Doppelreihen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-10


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Ich möchte die Konvergenz der Doppelreihe
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wie folgt zeigen:
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=> konvergent

Ist dieser Ansatz richtig?

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Zeilenkonvergenz und Reihenkonvergenz ist auch gegeben



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
bist du dir sicher, dass die Reihe konvergiert? Durch nachrechnen erhalte ich:
$$\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{p_m}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{p_m}\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{p_m}\left(\sum_{n=1}^{m}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)+\sum_{n=m+1}^{\infty}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)\right)$$ Für $n<m+1$ gilt jetzt: $\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor=0$ und für $n\geq m+1$ gilt $\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor\geq 1$ Da aber gilt $\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor\leq \frac{n}{m+1}\leq n$ folgt: Für $n<m+1$ gilt: $1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil=1-\left\lceil\frac{0}{n}\right\rceil=1-0=1$ Und für $n\geq m+1$ gilt: $1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil=1-1=0$
Also:
$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{p_m}\left(\sum_{n=1}^{m}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)+\sum_{n=m+1}^{\infty}\left(1-\left\lceil\frac{\left\lfloor\frac{n}{m+1}\right\rfloor}{n}\right\rceil\right)\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{p_m}\left(\sum_{n=1}^{m}1+\sum_{n=m+1}^{\infty}0\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m\cdot m}{p_m}$$ Von der Reihe ist nicht bekannt, ob Sie konvergiert.
Was du bisher mit deinem Ansatz gezeigt hast ist, dass $\left(\frac{(-1)^m}{p_m}\right)_{m\in\IN}$ eine Nullfolge ist. Das ist eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung für Konvergenz von Reihen.

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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Informatik-Rentner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Danke für die Hilfestellung.
Ja, ich weiß, dass nicht bekannt ist, ob die Reihe konvergiert.
Deshalb der Ansatz

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Ich dachte, wenn alle Werte der Doppelreihe < epsilon sind, bedeutet dies Konvergenz?



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
2021-05-14 19:12 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich dachte, wenn alle Werte der Doppelreihe < epsilon sind, bedeutet dies Konvergenz?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Wenn fast alle...
Die Bedingung ist nicht hinreichend. Zum Beispiel die harmonische Reihe$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ erfüllt die Voraussetzung konvergiert aber nicht. Ebenso konvergiert die Doppelreihe $\sum_{m,n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+m^2}$ nicht, obwohl dein Kriterium erfüllt ist.
\(\endgroup\)


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