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Universität/Hochschule Spline-Interpolation
Romee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-11


Hallo zusammen,

ich versuche momentan folgende Aussage zur Fehlerabschätzung bei Splines zu beweisen:

"Sei $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f \in C^{n+1}([a,b])$. Um die Funktion zu approximieren, teile man sie in $M$ gleich große Teilintervalle. In jedem Teilintervall wird eine Polynominterpolation an $n$ äquidistanten Stützstellen durchgeführt. Die so entstandene Approximation nennen wir $p_M$. Zeige, dass eine Konstante $C$ existiert - die von $a,b,N$ abhängt - sodass
\[ ||f-p_m||_{\infty} \leq C \frac{ || f^{n+1}||_{\infty}}{M^n}.\text{"} \]
Meine Fragen und Überlegungen bislang:
(1) Suchen wir also das Teilintervall, für den der Abstand maximal wird?
(2) Prinzipiell weiß ich, dass für die Fehlerdarstellung für Interpolationypolynome gilt:
\[ f(x) - p(x) = \frac{1}{(n+1)!} f^{n+1}(\xi) \prod_k^{n} (x -x_k).\]
ich versuche das anzuwenden:
\[ \|f-p_m\|_{\infty} = \sup_{m} |f-p_m| =  \| \frac{1}{(n+1)!} f^{n+1} \prod_k^{n} (x -x_k) \|_{\infty} \\
= \frac{1}{(n+1)!}  \|f^{n+1}\|_{\infty} \| \prod_k^{n} (x -x_k) \|_{\infty} \\
\leq \frac{1}{(n+1)!}  \|f^{n+1}\|_{\infty} \| \prod_k^{n} \frac{1}{M} \|_{\infty} = \frac{1}{(n+1)!}  \|f^{n+1}\|_{\infty}  \prod_k^{n} \| \frac{1}{M} \|_{\infty} \\
\leq \frac{1}{(n+1)!}  \|f^{n+1}\|_{\infty}  \frac{1}{M^n}
\] Kann ich das Prdokut mit $\frac{1}{M}$ abschätzen? Ich dachte, das müsste gehen, weil ja jedes Teilintervall $\frac{1}{M}$ lang ist. Mit der Konstante C weiß ich noch nicht so recht weiter.

Ich freue mich über eure Hilfe!
Romee



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Romee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Ich vermute, dass ich die Norm falsch aufgeschrieben habe, müsste es nicht korrekterweise so lauten:
\[ \| f - p_m \|_{\infty} = \sup_{x \in [a,b]} |f - p_m| \text{?}
\] Und kann ich dann f abschnittsweise zu den M Teilintervallen betrachten? Und könnt ihr mir etwas zu der Konstante von oben sagen?



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