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Analysis » Integration » Flächeninhalt zwischen Gerade und Hyperbel
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Universität/Hochschule J Flächeninhalt zwischen Gerade und Hyperbel
student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-11


Hallo Leute,

Ich habe hier folgende Aufgabe bei der nicht weiter komme.




Ich weiß wie ich die Fläche unter der Geraden berechne und wie ich die Fläche unter der Hyperbel berechne. Aber ich weiß nicht wie man auf das Ergebnis der Aufgabe kommen soll.

Die Fläche von der Geraden bis zur x-Achse müsste ja so sein:

fed-Code einblenden

Fläche von der Hyperbel bi zu x-Achse:

fed-Code einblenden


wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wäre das echt toll

Grüße
Student77





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-11


Hallo,

du musst die Differenz zwischen der Geraden und der Hyperbel vom Scheitel bis zum Schnittpunkt integrieren. Der Hinweis soll dir eine geeignete Substitution für die Integration aufzeigen.


Gruß, Diophant



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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


Ok also so?

fed-Code einblenden

Ich verstehe nicht wie mir die Substitution da helfen soll.

Grüße
Student77



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

du kannst es auch so machen, wie du es ursprünglich vorhattest: das große Dreieck berechnen und davon die Fläche unter der Hyperbel abziehen. Dann wird das Integral ein bisschen übersichtlicher.

Vorher solltest du aber den Schnittpunkt der Geraden und der Hyperbebel in Abhängigkeit von \(a\) berechnen (es geht aus dem bisherigen nicht hervor, ob dir das klar ist).

Dann kannst du dich voll und ganz auf das Integral

\[\int_1^{x_0}{\sqrt{x^2-1}\on{dx}}\]
konzentrieren.

Was hast du denn bisher so über die Hyperbelfunktionen gelernt? Da gibt es eine äußerst wichtige Identität mit dem Sinus- und dem Kosinus hyperbolicus. Und das, was unter der Wurzel steht, schreit geradezu nach einer Substitution, die auf dieser Identität beruht und durch den Hinweis nahegelegt wird.

Lies doch mal hier nach...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Hallo,

schon mal vielen Dank für deine Hilfe.

Ich habe nun:
fed-Code einblenden


Grüße
Student77



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nochmal: du musst dieses \(x_0\), also die x-Koordinate des Schnittpunkts, ersteinmal in Abhängigkeit der Steigung \(a\) darstellen. Ebenso die Fläche des großen Dreiecks.

Die Aufgabe ist ja ein wenig minimalistisch formuliert. Wenn man der Zeichung und dem Text einmal die Tatsache entnimmt, dass die Gerade überhaupt einen gemeinsamen Punkt mit der Hyperbel hat, dann steckt da offensichtlich die Forderung \(0\le a<1\) dahinter.

Deine Stammfunktion passt jetzt. Deine bisherige Rechnung berücksichtigt jedoch die Steigung dieser Geraden nicht oder nur teilweise. Und das ist auch der Punkt, an dem man schon selbst darauf kommen kann, dass am eigenen Ansatz etwas nicht stimmt: wenn man nicht alle gegebenen Informationen verwendet.

Setze also die Gleichung \(y=ax\) in die Hyperbelgleichung ein und löse nach \(x\) auf, um dein \(x_0\) für beide Flächen zu erhalten: für die große Dreiecksfläche und für das Integral.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Hallo,

hm ich versteh es immer noch nicht aber ich versuchs mal


fed-Code einblenden

Mache ich da noch einen Denkfehler?

Grüße
Student77



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-05-12 14:23 - student77 in Beitrag No. 6 schreibt:
Mache ich da noch einen Denkfehler?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ich würde sagen: keinen Denk- sondern irgendwo einen Rechenfehler. Wenn man das von Hand rechnet, ist es ehrlich gesagt auch ein ziemliches Gepfriemel mit den auftretenden Wurzeln.
Tatsache ist aber: diese 'komischen Ausdrücke' im Integral sind zum einen der Areakosinusterm, der ja stehen bleiben soll, und zum anderen eben die Fläche des großen Dreiecks. Heißt: wenn du richtig rechnest, und so vorgehst , wie du es im Themenstart vorgeschlagen hattest (also die Fläche unter der Geraden minus die Fläche unter der Kurve), dann hebt sich der Term für die Dreiecksfläche auf, da er im Integral für die Fläche unter der Kurve eben diesen 'komischen Ausdruck' darstellt (also das ist, was durch das Einsetzen in den Wurzelterm der Stammfunktion resultiert). Und du ja das komplette bestimmte Integral von der Dreiecksfläche subtrahieren musst.

Mathcad Prime ist eine teure Software, die ich mir vor längerer Zeit einmal aus beruflichen Gründen gekauft habe. Das eingebaute CAS hat nicht den besten Ruf, aber dass es so schlecht ist, hätte ich jetzt auch nicht gedacht: das schafft es auch nicht, das hier so zu vereinfachen, dass am Ende nur noch der Areakosinus übrig bleibt...).

Also: nochmal konzentriert durchrechnen, du bist auf dem richtigen Weg. Deine Terme für \(x_0\) und die Dreiecksfläche sind jedenfalls korrekt. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-12


Huhu,

die Gerade ist doch eine proportionale Funktion durch \((x_0,y_0)\), hat also die Gleichung \(g(x)=\frac{y_0}{x_0}x\). Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{y_0}{x_0}\). Für das Integral würde ich dann nach Substitution partiell integreren:

\(\displaystyle \int_1^{x_0}\left(\frac{y_0}{x_0}x-\sqrt{x^2-1}\right) \dd x=\frac{1}{2}\frac{y_0}{x_0}x^2\bigg|_1^{x_0}-\underbrace{\int_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}\sinh^2(u) \dd u}_{(*)}\)

\((*)\) dann wie gesagt partiell:

\(\mathcal{I}=\int_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)} \sinh^2(u) \dd u=\sinh(u)\cos(h)\bigg|_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}-\int_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)} \cosh^2(u) \dd u=\sinh(u)\cos(h)\bigg|_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}-\int_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)} (1+\sinh^2(u)) \dd u \)

und somit \(2\mathcal{I}=\sinh(u)\cosh(u)\bigg|_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}-u\bigg|_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}\)

Oben eingesetzt:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\frac{y_0}{x_0}x^2\bigg|_1^{x_0}-\int_0^{\operatorname{arcosh}(x_0)}\sinh^2(u) \dd u=\frac{1}{2}x_0y_0-\underbrace{\frac{1}{2}\frac{y_0}{x_0}}_{A_{\text{Dreieck}}}-\frac{1}{2}x_0\underbrace{\sqrt{x_0^2-1}}_{=y_0}+\frac{1}{2}\operatorname{arcosh}(x_0)\)

Wie gewünscht - und ohne "nervige" Wurzeln.

Gruß,

Küstenkind



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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Hallo Küstenkind,

danke für deine Hilfe. Aber so ganz verstehe ich deine Antwort noch nicht. Welches Dreieck genau ist mit A gemeint, die Fläche unter der Geraden von 0 bis 1, also das kleine Dreieck oder das große von 0 bis x_0?

Grüße
Student77



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

Kuestenkind splittet die Fläche in der Tat so auf, dass \(A\) das Dreieck im Bereich \(0\le x\le 1\) ist und das Integral dann für die Fläche zwischen der Geraden und der Hyperbel im Bereich \([1,x_0]\) steht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-14


Guten Abend, student77 😉

EDIT
Teile meines Beitrages waren unnötig bis fehlerhaft;
danke, Diophant, für den Hinweis!
Immerhin hat mir selber dieses hier dabei geholfen,
meine Kenntnisses zur Substitution ein wenig aufzufrischen.



-----------------

ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@cramilu:
(2021-05-14 20:51 - cramilu in <a h ref=viewtopic.php?topic=253832&
Das Hauptproblem ist die passende Stammfunktion!
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, das ist doch längst geklärt (-> Beiträge #4, #8). Und die hier verwendete Substitution \(x=\cosh u\) ist doch ein Klassiker und sollte nun wirklich kein Problem darstellen.

2021-05-14 20:51 - cramilu in Beitrag No. 11 schreibt:
Vorab würde ich jedoch eine grobe Fallunterscheidung vornehmen:
I)   \(0\:\leq x_0\:\leq1\)
II)   \(x\:>\:1\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Wozu? Aus der Aufgabenstellung ergibt sich unmittelbar die Forderung \(x_0\ge 1\).

@student77:
Solltest du mit der Rechnung noch Probleme haben, dann fasse die Wurzelterme deiner Stammfunktion noch folgendermaßen zusammen:

\[\frac{\sqrt{x-1}\cdot x\cdot\sqrt{x+1}}{2}=\frac{x\cdot\sqrt{x^2-1}}{2}\]
Wenn du dort mit deiner korrekt bestimmten Grenze \(x_0\) eingehst und noch beachtest, was mit der unteren Grenze 1 des Integrals passiert, dann ist es wie gesagt noch ein wenig Umformen von Wurzeltermen, und man hat das gewünschte Resultat dastehen.


Gruß, Diophant


\(\endgroup\)


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student77
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Hallo,

vielen Dank für eure Hilfe, habe es jetzt noch mal durchgerechnet.

Das Große Dreieck von 0 bis \(x_0\) soll \(F_1\) sein und die Fläche unter der Hyperbel soll \(F_2\) sein. Die gesuchte Fläche ist dann \(F = F_1 - F_2\)

\(F_1 = \frac{1}{2} x_0 y_0 = \frac{1}{2} x_0 \sqrt{x^2_0 -1}\)

\(F_2 =  \int_1^{x_0} \sqrt{x^2 -1} dx  =  \lbrack x \sqrt{x^2  -1}\rbrack^{x_0}_1  - \int_1^{x_0} \frac {x^2 -1 +1}{\sqrt{x^2 -1}} dx\)

\( = x_0 \sqrt{x^2_0 -1} -\int_1^{x_0} \sqrt{x^2 -1} dx -\int_1^{x_0} \frac {1}{\sqrt{x^2 -1}} dx \; \; \; |+I \; \; \;,\; \; \; I = \int_1^{x_0} \sqrt{x^2 -1} dx  \)

\(=> 2I = \sqrt{x^2_0 -1} - \int_1^{x_0} \frac {1}{\sqrt{x^2 -1}} dx \; \; \; |:2\)

\(=> I = \frac{x_0}{2} \sqrt{x^2_0 -1} - \frac{1}{2} \Big[ arcosh(x)\Big]^{x_0}_1 = \frac{x_0}{2} \sqrt{x^2_0 -1} - \frac{1}{2} arcosh(x_0) \)

\(F =  \frac{1}{2} x_0 \sqrt{x^2_0 -1} - \frac{x_0}{2} \sqrt{x^2_0 -1} - \frac{1}{2} arcosh(x_0)  = \frac{1}{2} arcosh(x_0)\)

\(=> F = \frac{1}{2} arcosh(x_0) \)


Das stimmt so oder?

Grüße
Student77



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

sieht gut aus. Die Integration ist auch elegant gelöst, außerdem wird so der Hinweis verwendet.

Die von mir verwendete Substitution \(x=\cosh u\) ist sozusagen 'Standard' hier (den du dir auch merken solltest). Letztendlich ist dein Weg aber sogar (dank dem Hinweis aus der Aufgabenstellung) mit weniger Aufwand verbunden - wenn auch etwas 'um die Ecke gedacht'. 😉

PS: in der dritten Zeile ist ein (Copy&Paste?)-Fehler: da hast du zweimal das entstehende Ursprungsintegral stehen, aber dafür den gebrochenen Anteil des Integranden vergessen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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student77
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Hallo Diophant,

Ja, so ist es tatsächlich einfacher zu rechnen.

Danke für den Hinweis habe es nun korrigiert.

Gruß
Student77




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