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Mathematik » Topologie » Untervektorraum auf einem Abschluss
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Beruf Untervektorraum auf einem Abschluss
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-11


Hallo Zusammen,

Irgendwie gibt es einen Zusammenhang, dass wenn wenn $E\subset X$ ein uvR von $X$ ist, dann ist $\overline{E}$ auch ein uvR von X.
Begründet wird dies mit der Stetigkeit der Gesetze des Vektorraumes.
Ich verstehe das überhaupt nicht.
Aber der Reihe nach:


Sei $X=C_0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ der Raum der stetigen Funktionen von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{C}$, welche nach Null gehen bei $\infty$ und $-\infty$. Weiter sei dieser Raum ausgestattet mit der Norm:

$\forall f \in X$ $\|f\|_{\infty}=\text{sup}_{t\in \mathbb{R}}|f(t)|$.

für $z\in\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ und $t\in \mathbb{R}$ setze man:

$\phi_z(t)=\frac{1}{t-z}$

Weiter sei $E$ der $\mathbb{C}$ Vektorraum, aufgespannt durch $\{\phi_z,z\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\}$

a) Zeige das $E$ in $X$ liegt (einfach)

b) Zeige dass wenn $z,z'\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ und $z\neq z'$, dann gilt $\phi_z \phi_{z'}\in E$ (einfach)

c) Zeige dass $\forall z\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$, $lim_{h\to \infty} \|\frac{\phi_{z+h}-\phi_z}{h}-\phi_z ^2\|_\infty=0$ (einfach)


Diese drei Teilaufgaben a-c sind sehr einfach und haben wenig mit dem Lernstoff zu tun. Ich interpretiere diese Aufgaben als Hiweis für die Aufgabe d)

d) Folgere aus den vorhergehenden Aufgaben dass der Abschluss von $E$ in $X$ eine Unteralgebra von $X$ ist. Zeige dass $E$ dich in $X$ liegt.


Die Musterlösung beginnt damit dass wenn $E$ ein uvR von $X$ ist, dann ist $\overline{E}$ es auch. Das sehe ich so auf die schnelle nicht. was habe ich da verpasst?



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-11


Es reicht zu zeigen, dass $\alpha x+\beta y\in \overline E$, für alle $x,y \in \overline E$ und $\alpha,\beta\in \mathbb R$.

LG Nico



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


hallo nzimme,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Ja, weil in der Mulö einfach steht dass weil $E$ ein urV ist, sei $\overline{E}$ es auch, gehe ich davon aus dass ein Satz existiert den ich nicht finden kann.

Aber um es selbst zu beweisen ....hmmmm.....

sei also $x,y\in \overline{E}$.

Nun, was wissen wir nützliches über $\overline{E}$?
Für jedes $\epsilon > 0$ existieren $x',y'\in E$ sodass $\|x-x'\|_{\infty}<\epsilon$ und für y dassselbe.

aber schon stehe ich wieder an. Ich weiss nicht was der Aufgabensteller hier wollte.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-11


Du könntest zunächst mal überlegen, was $x\in \overline E$ genau bedeutet. Das heißt ja $x\in E$ oder $x$ ist Häufungspunkt von $E$.

Falls also $x,y\in E$ gilt, so auch $x+y\in E\subseteq \overline E$ und wir wären bereits fertig. Es ist also nur der Fall interessant, dass $x,y\in \overline E$ Häufungspunkte von $E$ sind. (Bzw. mindestens einer von beiden Häufungspunkt ist)

Zu jedem Häufungspunkt von $E$ findet man eine Folge in $E$ die gegen diesen konvergiert.

Hilft dir das weiter?

LG Nico



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


Ja Nico, das hilf sehr viel weiter.

Du verstehst nicht nur was der Aufgabensteller wollte, sondern du kannst auch gut erklären.

Aber die Aufgabe ist noch nicht zu ende.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-11


2021-05-11 19:11 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Nun, was wissen wir nützliches über $\overline{E}$?
Für jedes $\epsilon > 0$ existieren $x',y'\in E$ sodass $\|x-x'\|_{\infty}<\epsilon$ und für y dassselbe.

Das reicht eigentlich auch schon um zu zeigen, dass $\overline E$ ein Untervektorraum ist. Hier wird das sehr ausführlich durchgerechnet.

LG Nico



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