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Universität/Hochschule J Bilinearformen
sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-11


Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit Bilinearformen und mir stellen sich ein paar Fragen:

1) Wenn ich den Raum aller symmetrischen Bilinearformen betrachte:
Gilt dann immer dim(Bifo+)=(n+1)n*1/2, also insbesondere bei Charakteristik 2?
2) Was ist die Dimension des Raumes aller alternierenden Bilinearformen bei Charakteristik ungleich 2?
3)Ist das Standardskalarprodukt die einzige Möglichkeit, R^n zu einem euklid. Vektorraum zu machen?
4) Und kann ich jede nxn Matrix als Grammatrix auffassen? oder funktioniert das nur, wenn die Matrix positiv definit und symmetrisch ist?

Vielen Dank für eure Hilfe!



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-11


Hallo Sina,

Zu 1) Siehe unten.

zu 3) Jede positiv definite symmetrische Bilinearform $\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R$ definiert ein Skalarprodukt auf $\mathbb R^n$. Ist $\langle \cdot,\cdot \rangle$ das kanonische Skalarprodukt, so ist auch $\lambda \langle \cdot,\cdot \rangle$ für ein $\lambda > 0$ ein Skalarprodukt auf $\mathbb R^n$.

Ansonsten kannst du eine $n\times n$-Matrix mit reellen Einträgen suchen, die positiv definit, symmetrisch aber keine Diagonalmatrix ist. Diese stellt dann auch ein Skalarprodukt auf $\mathbb R^n$ dar.

Zu 4) Man kann jede quadratische Matrix als Gram-Matrix einer Bilinearform auffassen. Weiter kann man jede symmetrische Matrix als Gram-Matrix einer symmetrischen Bilinearform auffassen und jede positiv definite symmetrische Matrix, als Gram-Matrix eines Skalarproduktes.

LG Nico



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-11


2021-05-11 20:59 - nzimme10 in Beitrag No. 1 schreibt:
Zu 1) Bei Charakteristik 2 macht es keinen Sinn $\frac 12$ zu schreiben, da 2 ja dann gar nicht invertierbar ist.

Die Dimension ist kein Element des Grundkörpers des Vektorraums, sondern eine natürliche Zahl.

Dass sich als Dimension der symmetrischen Bilinearformen ${n+1\choose2}$ ergibt, beruht auf einem mehr oder weniger kombinatorischen Argument.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-11


Ich hätte das genauer lesen sollen, habe gar nicht gesehen, dass $\dim =$ dort stand. Entschuldigung.

LG Nico



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


Hallo Nico, hallo zippy,

vielen Dank für eure Hilfe! Jetzt ist es mir klarer geworden!



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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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