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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Isometrie mit f(x) = y
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Universität/Hochschule J Isometrie mit f(x) = y
Talvin
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  Themenstart: 2021-05-13

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe gemacht und möchte gerne wissen, ob ihr mit der Lösung einverstanden seid: \ V ist ein euklidischer\/unitärer \IK-Vektorraum endlicher Dimension. Man zeige: Zu x,y \in V gibt es genau dann eine Isometrie \phi\in End(V) mit \phi(x) = y, wenn norm(x) = norm(y) gilt. Beweis: "$=>$" ist klar würde ich mal sagen, denn Isometrien verändern die Norm nicht, d.h. $||x|| = ||\varphi(x)|| = ||y||$. "$<=$" Ang. $||x|| = ||y||$. Dann kann man x und y jeweils normiert zu ONBs X und Y erweitern und $\varphi$ so wählen, dass es X auf Y und insb. das normierte x auf das normierte y schickt. Dann gilt: $\displaystyle \varphi(x) = ||x||\cdot\varphi(\frac{x}{||x||}) = ||x||\cdot\frac{y}{||y||} = y$ und $\varphi$ ist eine Isometrie, da ONB auf ONB geschickt wird. qed. Ich hoffe das ergibt Sinn, LG Tim (Bosch, Lineare Algebra, 7.5 Aufgabe 1, für die, die das irgendwann vllt. mal suchen, es gibt ja leider kaum Lösungen im Buch)


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-13

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, deine Pfeile <= bzw. => sind verkehrt herum, aber der Beweis stimmt so weit. Den Sonderfall $\|x\|=\|y\|=0$ solltest du noch betrachten.\(\endgroup\)


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Talvin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-13

Stimmt, danke!


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