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Mathematik » Stochastik und Statistik » Gesetz der großen Zahlen nachweisen
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Universität/Hochschule Gesetz der großen Zahlen nachweisen
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-13


Hallo zusammen,

ich bereite mich zur Zeit auf eine Prüfung vor und bin dabei auf folgendes Beispiel gestoßen, wo ich teilweise keinen richtigen Ansatz finde.

Man betrachte die Zufallsvariablen $X_n$ mit $X_1 = 0$ und
\[
P(X_n = n) = P(X_n = -n) = \frac{1}{2n \log{n}}, \; \; P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{2n \log{n}}
\] für $n \geq 2$. Ich soll nun herausfinden, ob für diese Folge ein Gesetz der großen Zahlen gilt.
Das heißt ich soll überprüfen, ob $\bar{X}_n$ in Wahrscheinlichkeit oder fast sicher gegen eine Konstante konvergiert.
Für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit kann ich ja folgende Abschätzung machen (ich vermute dass $\bar{X}_n$ in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert):
\[
\begin{align*}
P(|\bar{X}_n| > \epsilon) \leq& \frac{\frac{1}{n^2}\sum_{i=2}^n\mathbb{V}(X_i)}{\epsilon^2}
= \frac{\frac{1}{n^2}\sum_{i=2}^n\frac{i}{\log{i}}}{\epsilon^2}
\end{align*}
\] Und für beliebiges $n_0 \geq 2$ gilt dann
\[
\frac{1}{n^2}\sum_{i=2}^n\frac{i}{\log{i}} \leq \frac{1}{n^2}\sum_{i=2}^{n_0-1}\frac{i}{\log{i}}
+\frac{1}{n^2 \log{n_0}}\sum_{i=n_0}^n i
\] Wenn ich den Limes anwende
\[
\lim_{n \to \infty}  \frac{1}{n^2}\sum_{i=2}^{n_0-1}\frac{i}{\log{i}}
+\frac{1}{n^2 \log{n_0}} \sum_{i=n_0}^n i = \frac{1}{\log{n_0}}
\] Wenn ich dann noch $n_0$ gegen $\infty$ schicke, sollte ich ein schwaches Gesetz der großen Zahlen erhalten. Oder liege ich da falsch?

Für das starke Gesetz der großen Zahlen habe ich allerdings keinen wirklichen Ansatz, ich wäre froh wenn mir jemand helfen könnte.

Grüße





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