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Analysis » Topologie » Satz von Baire
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Universität/Hochschule Satz von Baire
mappingmoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-13


Hey Leute,
ich versuche grade folgendes zu zeigen:
"\(c_{00}:=\{(x_n)\subset\mathbb{R}:\,x\text{ hat endlich viele Einträge ungleich null}\}\)
Zeige: es existiert keine Norm, s.d. \((c_{00},||\circ||)\) ein Banachraum ist."

Als Hinweis ist hierbei auf den Satz von Air und eine Übungsaufgabe verwiesen. Bei der Übungsaufgabe ging es darum, zu zeigen, dass ein endlich-dimensionaler normierter $\mathbb{R}$ Vektorraum vollständig ist bzw. ein endlich-dimensionaler Unterraum eines normierten $\mathbb{R}$  Vektorraums abgeschlossen ist.

Meine Überlegung war deshalb bisher folgende:
Zuerst habe ich überlegte dass \(c_{00}\) ein unendlich-dimensionaler Vektorraum ist, da man um jede der Folgen aus \(c_{00}\) als Linearkombination schreiben zu können, eine abzählbar-unendliche Basis benötigt. Anschließend war meine Idee, sich auf endlich-dimensionale Unterräume von \(c_{00}\) zu beschränken: \(A_i:=\{x_n\in c_{00}:\forall n \notin [i, i+d]\,x_n=0\}\text{ mit }i,d\in\mathbb{N}\) damit wir $d-$dimensionale Unterräume erhalten. Diese wären dann nach der oben genannten Übungsaufgabe abgeschlossen, außerdem gilt dann \(\cup_i A_i=c_{00}\). An der Stelle könnte man den Satz von Baire anwenden: Angenommen \(c_{00}\) wäre eine Banachraum, dann wäre er mit der induzierten Metrik auch ein vollständiger metrischer Raum. Wenn jetzt \(\cup_i A_i=c_{00}\) einen offenen Ball enthält, dann gibt es nach Baire ein $A_i$, dass einen offenen Ball enthält.
An dieser Stelle versuche ich jetzt, auf einen Widerspruch zu schließen, dass kein Unterraum $A_i$ einen offenen Ball enthalten kann und somit \(c_{00}\) kein Banachraum sein kann, leider habe ich gerade Probleme dies zu zeigen.

Danke an jeden, der sich mein Problem bis hier durchgelesen hat, ich wäre dankbar für jede Anmerkung zu meinen bisherigen Gedanken oder andere Tipps zum Beweis :)



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14


Hallo mappingmoe,

2021-05-13 23:48 - mappingmoe im Themenstart schreibt:
\(A_i:=\{x_n\in c_{00}:\forall n \notin [i, i+d]\,x_n=0\}\text{ mit }i,d\in\mathbb{N}\) damit wir $d-$dimensionale Unterräume erhalten.

Diese Mengen hängen aber auch noch von \(d\) ab. Dies ist gar nicht nötig. Betrachten wir mal allgemeiner einen Banachraum \(V\) mit abzählbar unendlicher Basis \(\{b_n\,|\,n\in\mathbb{N}\}\). Dann können wir einfach \(A_i=\operatorname{span}\{b_1,\ldots,b_i\}\) setzen. In Deinem Beispiel ergibt dies mit der Basis \(b_i(j)=\delta_{ij}\) die Mengen \(A_i=\{(x_n)\,|\,x_n=0, n\geq i+1\}\). Die \(A_i\) sind wie Du schon bemerkt hast endlich dimensional und damit abgeschlossen. Weiter gilt \(V=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\), da \(\{b_i\,|\,i\in\mathbb{N}\}\) ein Erzeugendensystem ist.


2021-05-13 23:48 - mappingmoe im Themenstart schreibt:
Wenn jetzt \(\cup_i A_i=c_{00}\) einen offenen Ball enthält, dann gibt es nach Baire ein $A_i$, dass einen offenen Ball enthält.

Es gibt also nach Baire ein \(i\in\mathbb{N}\) und \(\varepsilon>0\) und \(x\in V\) mit \(B_\varepsilon(x)\subseteq A_i\).


2021-05-13 23:48 - mappingmoe im Themenstart schreibt:
An dieser Stelle versuche ich jetzt, auf einen Widerspruch zu schließen, dass kein Unterraum $A_i$ einen offenen Ball enthalten kann und somit \(c_{00}\) kein Banachraum sein kann, leider habe ich gerade Probleme dies zu zeigen.

Überlege Dir, dass auch \(B_\varepsilon(0)\subseteq A_i\). Überlege Dir dann, dass sogar \(B_n(0)\subseteq A_i\) für alle \(n\in\mathbb{N}\). Dabei musst Du benutzen, dass \(A_i\) ein VR und damit abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist. Es folgt \(V=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n(0)\subseteq A_i\subseteq V\), also \(A_i=V\). Dies ist ein Widerspruch dazu, dass \(A_i\) endlichdimensional ist, \(V\) aber nicht.


Insgesamt folgt also, dass es keine Banachräume mit abzählbar unendlichen Basen gibt.



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mappingmoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Hey Sonnenschein, erstmal vielen Danke für deine schnelle Antwort!

Die \(A_i\) so zu definieren war tatsächlich auch meine erste Idee, ich dachte nur dass es dann für \(i\rightarrow\infty\) wieder Probleme mit der Basis geben könnte, aber ich denke du hast, das dürfte für die einzelnen Räume kein Problem bereiten.

Die Idee die du eben genannt hast finde ich sehr schlau. Um das ganze vielleicht noch einmal zusammenzufassen:
\(\exists i\in\mathbb{N}\,\epsilon>0\,x\in c_{00}\text{ s.t. }B_\epsilon(x)\subset A_i\) dann können wir, da $A_i$ ein Vektorraum ist, über Translation folgendes machen:
\(\forall y\in B_\epsilon(x)\text{ define } y\mapsto y-x:=y´\in A_i\,\implies B_\epsilon(0)\subset A_i\)
Um zu zeigen, dass \(\forall n\in\mathbb{N}\,B_n(0)\subset A_i\) gilt, würde ich exemplarisch als Norm die Supremumsnorm wählen (da diese ja hier äquivalent zu allen anderen Metriken sein sollte) und die durch sie implizierte Metrik, s.d. \(B_n(0)=\{x\in A_i : max_i|x_i|<n\}\). Die Einträge \(x_n\in B_\epsilon(0) x_n=0\,n<i\) bleiben auch bei Skalierung des Balles null und damit innerhalb der $A_i$. Daraus würde dann folgen, dass \(\forall n\in\mathbb{N}\,B_n(0)\subset A_i\)
Würde das als Argument reichen?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-14


Du meinst wahrscheinlich das richtige, es ist nur etwas komisch aufgeschrieben. Es ist auch gar nicht nötig, eine konkrete Norm zu wählen, die Aussage dass ein Unterraum \(U\) eines normierten Vektorraumes \(V\), der eine Kugel \(B_\varepsilon(x)\) enthält schon gleich \(V\) ist, gilt ganz allgemein.

Um aus \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\) zu folgern, dass \(B_\varepsilon(0)\subseteq U\) ist, kannst Du \(y\in B_\varepsilon(0)\) als \(y=y+x-x\) schreiben und \(y+x\in B_\varepsilon(x)\) zeigen.

Um dann \(B_n(0)\subseteq U\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) zu zeigen, kannst Du \(y\in B_n(0)\) als \(y=\frac{n}{\varepsilon}\frac{\varepsilon y}{n}\) schreiben und \(\frac{\varepsilon y}{n}\in B_\varepsilon(0)\) zeigen.


Außerdem meinst Du denke ich nicht äquivalente Metriken, sondern äquivalente Normen. Für Metriken ist das ganze auch nicht richtig. Wenn Du z.B. \(V\) mit der diskreten Metrik versiehst, dann ist \(V\) vollständig, auch wenn \(V\) eine abzählbar unendliche Basis besitzt.



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