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 y(x) =F(y(x/2)) lösen |
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FrischFleisch21
Junior 
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 |  Themenstart: 2021-05-14
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Hallo zusammen,
ich stehe vor folgender Herausforderung. Im beruflichen Kontext habe ich sog. "bias extension tests" an Glasfasergelegen gemacht. Die Kraft der Zugprüfmaschien F_Zug wird über den Weg in mm aufgezeichnet. Der Weg lässt sich in Scherwinkel \gamma in ° umrechnen. Soweit so gut. Ich habe also die Zugkraft über den Scherwinkel. Allerdings benötige ich auch die Scherkraft über dem Scherwinkel. Aus der gemessenen Zugkraft F_Zug lässt sich die Scherkraft F_Scher mit Hilfe der folgendne Formel umrechnen. Allerdings beinhalte diese Formel sich selbst:
F_Scher(\gamma) = 1/(100*cos(\gamma))*(F_Zug*(cos(\gamma/2)-sin(\gamma/2))-100*F_Scher(\gamma/2)*cos(\gamma/2))
Ich weiß nicht wie ich das lösen soll. Um bspw. F_Scher bei \gamma=1° zu berechnen benötige ich den Wert für F_Scher(\gamma=0,5°) . Dafür brauche ich wieder F_Scher(\gamma=0,25°) usw.
Wie nennt man eine solche Gleichung überhaupt. Eine Differentialgleichung ist es ja nicht, da es nicht seine Ableitung beinhaltet, sondern nur sich selbst. Wie lässt sich sowas lösen?
Vielen Dank
Philipp
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rlk
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14
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Hallo Philipp,
das ist eine interessante Frage. Es handelt sich um eine Funktionalgleichung für $F_\mathrm{Scher}(\gamma)$.
Kannst Du den Versuch und die Daten, die Dir zur Verfügung stehen, etwas genauer beschreiben?
Servus,
Roland
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hyperG
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-14
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Hallo Philipp,
das sieht mir nach einer rekursiven Näherungsformel aus dem Hobbybereich aus, wo die echte Naturwissenschaft dahinter nicht bekannt war(en):
a) Im Gegensatz zu echten Naturgesetzen, wo man sofort mit SI-Einheiten rechnen kann, sollen hier untypische Nicht-SI-Einheiten (° , mm, ...) verwendet werden?!
b) Rekursive Formeln dieser Art benötigen zwingend ein Initialisierungswert (Stützstelle; Anfangswert,...), sonst passiert genau das von Dir beschriebene: man kann zwar wandeln (ineinander einsetzen), aber kommt nie zum Ende (Endlosschleife).
c) Durch die Vervielfachungsdefinition kann man bei nur einem Init-Wert nur feste Vielfache exakt berechnen, was in der Naturwissenschaft auch eher untypisch ist. (die nichtberechenbaren Bereiche werden mit wachsenden Winkel immer größer)
Nun gibt es grob geschätzt 3 Wege, um zu besseren Algorithmen zu kommen:
1. Rekursion in eine explizite Funktion zu wandeln, wo man statt nur Vielfache dann beliebige reelle Zahlen einsetzen kann. Bei Fibonacci, Fakultät usw. ist das schon lange bekannt. Bei dieser Funktion habe ich mal Mathematica angesetzt -> und bekam eine sehr komplizierte Funktion mit einem Hilfsfaktor c, der nur mit einem gegebenen Initialisierungswert berechnet werden kann. Solange Du uns keinen Initialisieungswert gibst, brauchen wir hier nicht weiter machen.
2. Die "Hobby-Formel" wurde ja mal von jemanden erstellt. Wenn Du uns ein paar Stützstellen (Wertepaare, Initialisierungswerte, Wertetabelle,...) gibst, können wir bestimmt eine bessere Näherungsformel für Dich basteln, mit der man beliebige reelle Werte einsetzen kann.
3. Wenn Du uns an der Physik dahinter teilhaben lässt, könnten wir bestimmt das echte Naturgesetz dahinter finden. Hier gibt's genug schlaue Köpfe.
Im Gegensatz zur theoretischen Mathematik, hat die Physik immer nur begrenzte Gültigkeitsbereiche. Bei Hobby- oder Näherungsfunktionen ist der Gültigkeitsbereich meist noch enger. Kannst Du dazu etwas beitragen?
Punkt Genauigkeit: Im Gegensatz zu echten Naturgesetzen reicht dem Näherungsformel-Ersteller meist 2 Nachkommastellen. Wieviel brauchst Du und in welcher Einheit soll die Kraft sein ([N] ? )?
Wo die mm (Physk. Größe Länge) ins Spiel kommen, ist uns auch noch nicht klar...
Grüße
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-14
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Hallo FrischFleisch21,
ich würde die Gleichung zunächst so umformen:
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma+F_S\left(\frac\gamma2\right)\cos\frac\gamma2=\frac{F_Z}{100}\cdot\left(\cos\frac\gamma2-\sin\frac\gamma2\right)\tag1$$Für $\gamma=0$ gilt dann:
$$2F_S(0)=\frac{F_Z}{100}\tag2$$so dass
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma+F_S\left(\frac\gamma2\right)\cos\frac\gamma2=2F_S(0)\cdot\left(\cos\frac\gamma2-\sin\frac\gamma2\right)\tag3$$Substituierst Du nun $\gamma$ durch $\frac\gamma2$, erhältst Du
$$F_S\left(\frac\gamma2\right)\cos\frac\gamma2+F_S\left(\frac\gamma4\right)\cos\frac\gamma4=2F_S(0)\cdot\left(\cos\frac\gamma4-\sin\frac\gamma4\right)\tag4$$Subtrahierst Du (4) von (3), folgt:
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(\frac\gamma4\right)\cos\frac\gamma4+2F_S(0)\cdot\left(\cos\frac\gamma2-\cos\frac\gamma4-\sin\frac\gamma2+\sin\frac\gamma4\right)\tag5$$Es gilt außerdem:
$$\cos2x-\cos x=2\cos^2x-1-\cos x=(2\cos x+1)(\cos x-1)$$und
$$\sin2x-\sin x=2\sin x\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$$Das verwenden wir in (5):
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(\frac\gamma4\right)\cos\frac\gamma4-2F_S(0)\cdot\left(\left(2\cos\frac\gamma4+1\right)\left(1-\cos\frac\gamma4\right)+\sin\frac\gamma4\left(2\cos\frac\gamma4-1\right)\right)\tag6$$Nun substituiert man fortwährend $\gamma$ durch $\frac\gamma4$ und setzt Gleichung (6) in sich selbst ein, es entsteht eine Reihe wie folgt:
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(\frac\gamma{4^n}\right)\cos\frac\gamma{4^n}-2F_S(0)\cdot\sum_{k=1}^n\left(\left(2\cos\frac\gamma{4^k}+1\right)\left(1-\cos\frac\gamma{4^k}\right)+\sin\frac\gamma{4^k}\left(2\cos\frac\gamma{4^k}-1\right)\right)\tag7$$Lässt man nun $n\to\infty$ gehen, so erhält man:
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(0\right)-2F_S(0)\cdot\sum_{k=1}^\infty\left(\left(2\cos\frac\gamma{4^k}+1\right)\left(1-\cos\frac\gamma{4^k}\right)+\sin\frac\gamma{4^k}\left(2\cos\frac\gamma{4^k}-1\right)\right)\tag8$$Ist $F_S(0)$ bekannt, so kann man definieren:
$$F_S(\gamma)=F_S(0)\cdot f(\gamma)\tag9$$Dabei ist
$$f(\gamma)=\frac1{\cos\gamma}\left[1-2\sum_{k=1}^\infty\left(\left(2\cos\frac\gamma{4^k}+1\right)\left(1-\cos\frac\gamma{4^k}\right)+\sin\frac\gamma{4^k}\left(2\cos\frac\gamma{4^k}-1\right)\right)\right]\tag{10}$$Wir brauchen also keinen Startwert der Iteration. Die Funktion sieht wie folgt aus:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_3_fScher.png
@HyperG: In den Ingenieurwissenschaften sind die Einheiten "mm" und "°" absolut üblich. Das hat nichts mit "Hobby" zu tun.
Ciao,
Thomas
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-15
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... man kann obige Herleitung auch noch ein wenig eleganter formulieren. Aus (5) folgt mithilfe der Summenformeln:
$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(\frac\gamma4\right)\cos\frac\gamma4+2F_S(0)\cdot\left(-2\sin\frac{3\gamma}8\sin\frac\gamma8-2\cos\frac{3\gamma}8\sin\frac\gamma8\right)\tag{11}$$$$F_S\left(\gamma\right)\cos\gamma=F_S\left(\frac\gamma4\right)\cos\frac\gamma4-4F_S(0)\sin\frac\gamma8\left(\sin\frac{3\gamma}8+\cos\frac{3\gamma}8\right)\tag{12}$$Mit dieser Darstellung folgt wie oben:
$$f(\gamma)=\frac1{\cos\gamma}\left[1-4\sum_{k=1}^\infty\sin\frac\gamma{2\cdot4^k}\left(\sin\frac{3\gamma}{2\cdot4^k}+\cos\frac{3\gamma}{2\cdot4^k}\right)\right]\tag{13}$$oder noch anders dargestellt:
$$f(\gamma)=\frac1{\cos\gamma}\left[1-4\sqrt2\;\sum_{k=1}^\infty\sin\frac\gamma{2\cdot4^k}\sin\left(\frac\pi4+\frac{3\gamma}{2\cdot4^k}\right)\right]\tag{14}$$Falls Du eine Excel-Auswertung machen willst, hier die Programmierung in VBA:
\sourceon VBA
Option Explicit
Public Function fScher(ByVal x As Double) As Double
Const Sqrt32 As Double = 5.65685424949238
Const Pi_4 As Double = 0.785398163397448
Dim Sum As Double, Cosx As Double, a As Double, S1 As Double, S2 As Double
Cosx = Cos(x)
Sum = 1 / Sqrt32
x = x * 0.125
S2 = 1
Do
S1 = S2
a = Sin(x) * Sin(Pi_4 + 3 * x)
Sum = Sum - a
S2 = Sum - a / 3
x = x * 0.25
Loop Until Abs((S2 - S1) / S1) < 1E-17
fScher = Sqrt32 * S2 / Cosx
End Function
\sourceoff
Die Reihe konvergiert sehr schnell, aber ich habe trotzdem noch eine kleine Konvergenzbeschleunigung eingebaut. Typischerweise braucht die Reihe nur 13 Reihenglieder, um auf eine für Excel maximale Genauigkeit von 17 Nachkommastellen zu kommen. Mit dieser Funktion gilt demnach:
$$F_S(\gamma)=\frac{F_Z}{200}\;f(\gamma)\tag{15}$$
Ciao,
Thomas
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-15
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\quoteon(2021-05-14 22:02 - MontyPythagoras in Beitrag No. 3)
...
@HyperG: In den Ingenieurwissenschaften sind die Einheiten "mm" und "°" absolut üblich. Das hat nichts mit "Hobby" zu tun.
...
\quoteoff
Ich rede nicht von Messwerterfassung, sondern vom Einsetzen der erfassten Zahlenwerte in die Formel. Ob man sie nun Hobby.- oder Fausformel oder was auch immer nennt, es ist gerade in Handwerksberufen üblich, speziell zugeschnittene Formeln zu verwenden. Und da werden Umdrehungen nicht in 1/s , sondern in 1/min oder kcal statt J, PS statt W usw. verwendet & 1:1 in "solche auf NICHT-SI-Einheiten zugeschnittene Formel" eingesetzt.
Wenn Taschenrechner auf ° eingestellt werden, erledigt dieser die Umwandlung in die richtige SI-Einheit Rad automatisch.
Im Beitrag 4 hast Du selbst an 2 Stellen bewiesen, dass Du SI-Einheiten verwendest:
- sin(Pi/4 + 3*...)
- Excel-Script cos(x) -> und Excel verwendet wie 90% aller Sprachen SI-Einheit
Machen wir also mit SI-Einheiten weiter, als wenn es ein echtes Naturgesetz wäre.
Weiter zum PRAKTISCHEN Rechnen:
Wenn ich als Start- (Initialisierung) Fs[1*Pi/180] = 1 {Newton} und Fz=1 ansetze, kommt bei der Ausgangsforme etwas negatives
und bei Deiner Formel was positives:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_Reku_1_negativ.PNG
OK, Du bist davon ausgegangen, dass es ein Fs(0) gibt.
Bei Rekursionen ein unendlich langes Rechnen, aber ich gehe da mal mit (um uns gegenseitig nicht an Kleinigkeiten zu zerreiben).
Nach Umstellung der Rekursionsformel (entgegengesetzte Richtung), ergeben sich damit folgende Initialisierungswerte (Wertetabelle), wenn man Fz=1 vereinfacht setzt:
\sourceon nameDerSprache
Winkel [°] [rad] | Fs
-----------+------------------+---------
1 |0.0174532925199433|0.00494227145955029
2 |0.0349065850398866|0.00488541021942882
4 |0.0698131700797732|0.00477410863232592
\sourceoff
Oder anders: wenn man Fs[1°*Pi/180°] = 0.004942271459550286
als Startwert setzt, stimmt Deine Formel mit der Rekursionsformel überein.
Bin gespannt, ob uns Philipp bestätigt, dass diese Init-Werte
"praxisnahe" sind...
... oder ob es doch eine "zugeschnittene Formel" & keine Naturgesetz-Formel ist.
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FrischFleisch21
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15
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Hallo zusammen,
erstmal ganz vielen Dank für das ausführliche Feedback. Ich hatte noch keine Zeit jede Antwort bis ins Detail nachzuvollziehen, aber hier schonmal ein paar angefragt Infos:
Es geht darum, dass Drapierverhalten von Glasfasergelegen zu quantifizieren. Glasfasergelege werden als Verstärkungshalbzeug bspw. für GFK-Windkraftkräder verwendet. Das Drapieren bezeichnet den Umformprozess vom flächigen Textil in die dreidimensionale Bauteilgeometrie. Beim Drapieren ändert sich Faserwinkel und Drapierfehler können entstehen, die die mech. Bauteileigenschaften u.U. erheblich beiinträchtigen. Insb. der Faserwinkel nach Umformung ist auslegungsrelevant. Das Ganze gilt es simulativ abzubilden. Im Scherzugversuch werden die Fasern im Textil zu Rotation gezwungen. Die gemessene Kraft stellt dabei den Widerstand gegen diese Faserrotation dar. hier findet ihr ein Bild vom Versuchsaufbau. In diesem Paper in Kap. 5 ist der Scherzugversuch und die verwendete Gleichung beschrieben und hergleitet. Die Werte für H und W hatte ich bereits eingesetzt (H= 200 mm, W= 100 mm). hier habe ich euch mal beispielhaft eine Messung angehängt.
Der einzig sinnvolle Intial-Wert ist F_Scher(0)=0. Glaube aber das hilft hier nicht weiter.
Um euren anderne Kommentare im Detail nachzuvollziehen und evtl. sinnvolle Fragen zu stellen brauche ich leider noch etwas Zeit. Hoffe aber die Infos helfen euch schon weiter.
Viele Grüße
Philipp
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-15
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Hallo Philipp,
es braucht keinen Initialwert, lass Dich von hyperGs Beitrag nicht irritieren. Genaugenommen ist die freie Wahl eines Initialwertes gar nicht möglich. Siehe dazu weiter unten.
Du hast gefragt, wie man eine solche Funktionalgleichung löst, und wie man das tut, steht in meinen Beiträgen #3 und #4. Die Lösung ist unter der Annahme, dass $F_Z$ eine immer gültige Konstante und von $\gamma$ unabhängig ist, eindeutig, und die Funktion kann dargestellt werden als eine unendliche Reihe, wie oben hergeleitet.
Laut dem Paper Gleichung (18) lautet die Gleichung jedoch eigentlich:
$$F_S\left(\gamma\right)=\frac1{(2H-3W)\cos\gamma}\cdot\left(\left(\frac HW-1\right)F_Z\left(\cos\frac\gamma2-\sin\frac\gamma2\right)-W\cdot F_S\left(\frac\gamma2\right)\cos\frac\gamma2\right)$$
$F_S(0)=0$ macht keinen Sinn, denn wenn Du das in Deine Ausgangsformel oder diese Formel einsetzt, muss zwangsläufig $F_Z=0$ oder $H=W$ gelten. Zwei Fragen:
1. Ist $F_Z$ eine Funktion von $\gamma$ oder $\gamma$ eine Funktion von $F_Z$? Ich vermute, letzteres. Dann ist die Gleichung nicht lösbar, es sei denn, wir kennen den Zusammenhang $\gamma(F_Z)$.
2. Warum hast Du nicht die vollständige Aufgabenstellung gepostet, sondern $H$ und $W$ durch einen zufälligen Zahlenwert ersetzt? So verschwendest Du unsere Zeit.
Frage 2 ist rhetorisch, kläre bitte die Frage 1.
@hyperG: Du hast zu viel Vertrauen in Deinen Luxus-Taschenrechner. Wenn Du das, was Du angefangen hast mit Deiner Rekursion, zu Ende denken würdest, dann würdest Du herausfinden, dass Du bei fortgesetzter Rekursion Dich dem Wert $\gamma=0$ näherst, aber bei immer geringer werdendem Abstand zwischen $\gamma$ und $\frac\gamma2$ die Werte stark springen. Mit anderen Worten: Deine Funktion wäre nicht stetig und auch nicht differenzierbar, und daher kannst Du nicht einfach beliebige Initialwerte annehmen. Deine Rekursion ist dann schlicht falsch. Die von mir hergeleitete Funktion ist daher die einzige Lösung (für die offenbar nicht vollständige) Ausgangsgleichung, und ein Initialwert kann nicht frei gewählt werden.
Ciao,
Thomas
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FrischFleisch21
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15
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Hi Thomas,
\quoteon(2021-05-15 18:26 - MontyPythagoras in Beitrag No. 7)
Zwei Fragen:
1. Ist $F_Z$ eine Funktion von $\gamma$ oder $\gamma$ eine Funktion von $F_Z$? Ich vermute, letzteres. Dann ist die Gleichung nicht lösbar, es sei denn, wir kennen den Zusammenhang $\gamma(F_Z)$.
2. Warum hast Du nicht die vollständige Aufgabenstellung gepostet, sondern $H$ und $W$ durch einen zufälligen Zahlenwert ersetzt? So verschwendest Du unsere Zeit.
Frage 2 ist rhetorisch, kläre bitte die Frage 1.
\quoteoff
Zu deinen Fragen:
1) F_Z ist eine Funktion von \gamma
2) Naja, H und W beschreiben die anfängliche Prüfkörpergeometrie. Damit sind das einfach nur zwei Konstanten mit (allgemein betrachtet) beliebigem Wert.
\quoteon(2021-05-15 18:26 - MontyPythagoras in Beitrag No. 7)
Die Lösung ist unter der Annahme, dass $F_Z$ eine immer gültige Konstante und von $\gamma$ unabhängig ist, eindeutig, und die Funktion kann dargestellt werden als eine unendliche Reihe, wie oben hergeleitet.
\quoteoff
Die Annahme ist allerdings nicht richtig. F_Z ist keine Konstante, sondern die Zugkraft (gemessen durch die Zugprüfmaschine, gemessen über den Traversenweg) die es in die Scherkraft umzurechnen gilt. Sowohl F_Z als auch \gamma sind eine Funktion des Traversenwegs \delta . \gamma lässt sich als Funktion des Traversenwegs \delta berechnen (siehe Paper Gl. 13):
\gamma=90°-2*arccos((L_0+\delta)/(sqrt(2)*)L_0) wobei L_0=H-W
F_Z(\gamma) ist demnach auch an jedem Punkt bekannt, da das die Kraft ist die die Prüfmaschine misst.
Viele Grüße
Philipp
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
MontyPythagoras
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-15
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Hallo philipp,
\quoteon(2021-05-15 18:48 - FrischFleisch21 in Beitrag No. 8)
2) Naja, H und W beschreiben die anfängliche Prüfkörpergeometrie. Damit sind das einfach nur zwei Konstanten mit (allgemein betrachtet) beliebigem Wert.
\quoteoff
Eben nicht. So, wie Du die Formel angegeben hast mit dem Zahlenwert 100, wurde die Gleichung erheblich einfacher als sie es nun ist. Versuche bitte dazu, obige Herleitung nachzuvollziehen.
Auch dass $F_Z$ eine Funktion von $\gamma$ ist, ändert einiges - um nicht zu sagen: alles. Du bist ja noch recht neu hier, also Schwamm drüber, aber bitte stelle in Zukunft die Aufgabe möglichst vollumfänglich dar. Es sollte klar sein, dass in der von Dir angegebenen Funktionalgleichung $F_Z=\text{konstant}$ oder $F_Z=F_Z(\gamma)$ einen Riesenunterschied macht. Prinzipiell funktioniert der von mir skizzierte Lösungsweg immer noch, allerdings wird nun in den Summanden in der unendlichen Reihe die Funktion $F_Z\left(\frac\gamma{2^k}\right)$ vorkommen, zusätzlich zu lustigen Termen mit $H$ und $W$ in bunter Mischung.
Darüber kannst Du ja erst mal grübeln und versuchen, den Lösungsweg am einfachen Beispiel oben nachvollziehen, und das dann auf Deine gesuchte Gleichung übertragen. Wenn Du nicht weiter kommst, kannst Du Dich gerne melden.
Ciao,
Thomas
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hyperG
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-15
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§1: Ich weiß nicht, warum ich immer wieder für "meine Rechner" (egal was ich auch nehme) kritisiert werde... Ziel ist immer zu beweisen, ob man richtig liegt, oder auf dem Holzweg ist.
§2: wie sich hier nun eindeutig zeigt, hat die uns anfangs gegebene Funktion ( egal ob man sie explizit oder rekursiv betrachtet) eine fallende war...
ABER wie sich nun zeigt eine steigende sein soll:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_normalizedShareForce.PNG
Desweiteren ist die Einheit von Fs N/mm und die Einheit des Winkels °,
was bei
\
F_Z(\gamma)
und bei den Winkelfunktionen
beachtet werden muss.
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-15
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Hallo hyperG,
§1: siehe ->
§2: Dein Mathematica-Exkurs hat zum Thema Holzweg überhaupt nichts beigetragen. Für die Ausgangsgleichung aus dem Threadstart ist meine Herleitung nach wie vor die einzige korrekte Lösung. Dass die gesuchte Funktion nun steigt, statt zu fallen, hat ausschließlich damit zu tun, das Philipp a) willkürliche Zahlenwerte eingesetzt hat und b) verschwiegen hat, dass $F_Z$ eine Funktion von $\gamma$ ist, und nicht, weil Dein Rechner meine Herleitung widerlegt hätte. Wie schon gesagt, hast Du eine wesentliche Randbedingung der Rekursion nicht beachtet.
Auch die Einheiten haben überhaupt nichts mit der Lösung der Gleichung zu tun. Warum reitest Du permanent darauf rum? Ob das N/mm² oder Kartoffeln pro Quadratmeile sind, ist doch völlig egal. Natürlich setze ich in Radiant ein, weil Programmiersprachen das erwarten.
Ciao,
Thomas
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